ஈருறுப்பு விரிவின் அடிப்படைப் பண்புகள் — உ/த கூட்டு கணிதம்

நேர் நிறைவெண் சுட்டி n ∈ ℤ⁺ இற்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம்: (a + b)ⁿ = ∑_r=0ⁿ ⁿC_r a^n-r b^r ஆகும். இங்கு ஈருறுப்புக் குணகம் ⁿC_r = n! / [r! (n - r)!] ஆகும். முக்கிய பண்புகள்: (1) விரிவில் உள்ள மொத்த உறுப்புகள் (n + 1); (2) ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் a, b இன் படிகளின் கூடுதல் n ஆகும்; (3) குணகங்களின் சமச்சீர்மை: ⁿC_r = ⁿC_n-r; (4) பாஸ்கலின் சமனிலி: ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r; (5) எல்லாக் குணகங்களினதும் கூடுதல்: a = b = 1 எனப் பிரதியிட ∑ ⁿC_r = 2ⁿ; (6) மாற்று அடையாளக் கூடுதல்: a = 1, b = -1 எனப் பிரதியிட பூச்சியமாகும்.

பதிலளிக்கும் முன் சரிபார்க்கவும் (உ/தர தூய கணிதம் வினாத்தாள் 1)

1. பொது உறுப்பை அமைத்தல்: (r + 1) ஆம் பொது உறுப்பை T_r+1 = ⁿC_r a^n-r b^r என மறை அடையாளங்களுடன் சரியாக அமைத்தல்.
2. குணகச் சமனிலிகளை நிறுவுதல்: வகையீடு அல்லது அட்சரகணித விரிவாக்கம் மூலம் குணகங்களின் கூட்டல் சமனிலிகளை நிறுவுதல்.
3. பாஸ்கல் முக்கோணத் தொடர்பு: ஈருறுப்புக் குணகங்களை பாஸ்கல் முக்கோணத்துடன் தொடர்புபடுத்தி ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r ஐப் பிரயோகித்தல்.