வகுப்பு 13 — தவணை 1

சிக்கலெண் முறைமையைப் பயன்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சிக்கலெண்களை வரிசைப்படுத்த முடியாது: z1 > z2 போன்ற சமனின்மைகள் சிக்கலெண்களுக்கு அர்த்தமற்றவை.
• மறை எண்களின் வர்க்கமூலம்: √(-a) * √(-b) = -√(ab) ஆகும் (+√(ab) அல்ல).
• மறைத் தன்மைகாட்டி இருபடி மூலங்கள்: மூலங்கள் இணைச் சிக்கலெண்களாக அமையும்: x = [-b ± i√(4ac - b^2)] / (2a).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

i = √(-1) எனின், i⁴⁷ இன் பெறுமானம் யாது?

1. A. -i
2. B. -1
3. C. +1
4. D. +i

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சிக்கலெண்களின் அட்சரகணிதச் செய்கைகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பகுதியை விகிதமுறுவாக்கல்: பகுதியில் i இருக்கக் கூடாது; பகுதியின் இணைச் சிக்கலெண்ணால் பெருக்கி பகுதியை x^2 + y^2 ஆக்குக.
• வர்க்கமூலத்தின் குறிகள்: b > 0 எனின் x, y ஒரே குறியைக் கொண்டிருக்கும்; b < 0 எனின் எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும்.
• பெருக்கல் நேர்மாறு: z^(-1) = (x - iy) / (x^2 + y^2).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

z₁ = 2 + 3i மற்றும் z₂ = 1 - 2i ஆகிய சிக்கலெண்களின் பெருக்கம் யாது?

1. A. -4 - i
2. B. 8 + i
3. C. 2 - 6i
4. D. 8 - i

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சிக்கலெண் இணைமாறியின் அடிப்படைப் பண்புகளை நிறுவுதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• தூய மெய் நிபந்தனை: z ஒரு தூய மெய் எண்ணாக அமைய z = z* இருத்தல் வேண்டும்.
• தூய கற்பனை நிபந்தனை: z ஒரு தூய கற்பனை எண்ணாக அமைய z = -z* இருத்தல் வேண்டும்.
• அடுக்கின் இணை: (z^n)* = (z*)^n ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

z = x + iy மற்றும் அதன் இணைச் சிக்கலெண் z̄ = x - iy எனின், z · z̄ இன் பெறுமானம் யாது?

1. A. 2iy
2. B. 2x
3. C. x² + y² (which equals |z|²)
4. D. x² - y²

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சிக்கலெண்ணின் மட்டுப் பண்புகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இரு சிக்கலெண்களுக்கிடையிலான தூரம்: ஆர்கன்ட் தளத்தில் தூரம் |z1 - z2| ஆகும்.
• உயர், இழிவு மதிப்புகள்: |z - z0| = r எனின் |z| இன் உயர் மதிப்பு |z0| + r மற்றும் இழிவு மதிப்பு ||z0| - r| ஆகும்.
• இணைகர முற்றொருமை: |z1 + z2|^2 + |z1 - z2|^2 = 2(|z1|^2 + |z2|^2).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

z = (3 + 4i) / (1 + i) எனும் சிக்கலெண்ணின் மட்டு |z| யாது?

1. A. 25 / 2
2. B. 5 / √2 (or 5√2 / 2)
3. C. 7 / 2
4. D. 5 / 2

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

ஆகாண்ட் வரைபடம் மூலம் அட்சரகணிதச் செய்கைகளை விளக்குதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• முதன்மை வீச்சு Arg(z) காணும் முறைகள்: காற்பகுதிக்கு ஏற்ப: I இல் θ = tan^(-1)(y/x); II இல் θ = π - tan^(-1)|y/x|; III இல் θ = -π + tan^(-1)|y/x|; IV இல் θ = -tan^(-1)|y/x|.
• i ஆல் பெருக்கல்: i ஆல் பெருக்கும் போது காவி இடஞ்சுழியாக 90° சுழற்றப்படும்.
• ஆர்கன்ட் தளப் பிரிவுச் சூத்திரம்: z1z2 துண்டை m : n விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளி z = (m*z2 + n*z1) / (m + n) ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

ஆகண்ட் படத்தில் z எனும் சிக்கலெண்ணை i இனால் பெருக்குவது z காவியின் எவ்வகை கேத்திரகணித உருமாற்றத்தைக் குறிக்கும்?

1. A. A clockwise rotation by 90° about the origin
2. B. A doubling of the vector length along its original line
3. C. An anticlockwise rotation by 90° (π/2 radians) about the origin without changing magnitude
4. D. A reflection across the real horizontal axis

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

டி மோயவ்வின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• ஒன்றின் n ஆம் படி மூலங்கள்: z^n = 1 இன் மூலங்கள் z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n); மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை = 0.
• ஒன்றின் மூன்றாம் படி மூலங்கள்: 1, ω, ω^2; முக்கிய முற்றொருமைகள்: 1 + ω + ω^2 = 0 மற்றும் ω^3 = 1.
• காரணிப்படுத்தல்: x^n - 1 கோவையை மெய் ஒருபடி, இருபடிக் காரணிகளாகப் பிரித்தல்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

டி மோய்வரின் தேற்றத்தின்படி (cos θ + i sin θ)⁴ இன் பெறுமானம் யாது?

1. A. cos(4θ) + i sin(4θ)
2. B. cos⁴ θ + i sin⁴ θ
3. C. 4 cos θ + 4i sin θ
4. D. cos(θ/4) + i sin(θ/4)

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

மாறும் சிக்கலெண்ணின் ஒழுக்கு மற்றும் பிரதேசத்தை இனங்காணல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• வட்டவில் ஒழுக்கு: Arg[(z - z1)/(z - z2)] = α என்பது வட்டவில்லைக் குறிக்கும்; α = π/2 எனின் z1z2 விட்டத்தைக் கொண்ட அரைவட்டம்.
• நீள்வளைய, அதிபரவளைவு ஒழுக்கு: |z - z1| + |z - z2| = 2a நீள்வளையத்தையும், ||z - z1| - |z - z2|| = 2a அதிபரவளைவையும் குறிக்கும்.
• எல்லைக் கோடுகள்: <, > சமனின்மைகளுக்கு இடைவிட்ட கோடுகளும், ≤, ≥ இற்கு தொடர்ச்சியான கோடுகளும் வரையப்பட வேண்டும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

சிக்கலெண் தளத்தில் |z - (2 + 3i)| = 5 எனும் ஒழுக்குச் சமன்பாட்டினால் குறிக்கப்படும் கேத்திரகணித உருவம் எது?

1. A. A straight line passing through (2, 3) with gradient 5
2. B. A parabola with vertex at (2, 3)
3. C. An ellipse with major axis 10
4. D. A circle centered at (2, 3) with radius 5

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

ஈருறுப்பு விரிவின் அடிப்படைப் பண்புகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• நடு உறுப்பைக் காணல்: n இரட்டை எனின் ஒரு நடு உறுப்பும் (T_{n/2 + 1}), n ஒற்றை எனின் இரு நடு உறுப்புகளும் (T_{(n+1)/2}, T_{(n+3)/2}) அமையும்.
• மிகப்பெரிய உறுப்பு: T_{r+1} / T_r ≥ 1 சமனின்மையைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மிகப்பெரிய எண் மதிப்புடைய உறுப்பைக் கணிக்கலாம்.
• x இல் சாராத மாறிலி உறுப்பு: T_{r+1} இல் x இன் அடுக்கை பூச்சியத்திற்கு சமப்படுத்தி r ஐக் காணுதல்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

n ஒரு நேர் நிறை எண்ணாக இருக்கும்போது, (a + b)ⁿ ஈருறுப்பு விரிவிலுள்ள மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை யாது?

1. A. n
2. B. 2ⁿ
3. C. n - 1
4. D. n + 1

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பிரயோகித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சார்பகத்திற்கு ஏற்ப அமைத்தல்: (a + bx)^n ஐ விரிவுபடுத்த a^n ஐ வெளியே எடுத்து a^n [1 + (b/a)x]^n என எழுத வேண்டும் (|(b/a)x| < 1).
• வர்க்கமூலத் தோராய மதிப்பீடு: √2 = (7/5)√(1 + 1/49) என அமைத்து விரைவாக துல்லியமான தசம மதிப்பைப் பெறுதல்.
• முடிவுறு vs முடிவிலி தொடர்: n நேர் நிறைவெண் எனின் (n + 1) உறுப்புகளுடன் முடியும்; n மறை அல்லது பின்னமெனின் முடிவிலி உறுப்புகள் தோன்றும் (|x| < 1 அவசியம்).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

(1 + 2x)⁵ ஈருறுப்பு விரிவில் x³ இன் குணகம் யாது?

1. A. 160
2. B. 80
3. C. 10
4. D. 40

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

தொடர் பெருக்கத்தை வரையறுத்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• 0! = 1 ஆவதற்கான காரணம்: (n - 1)! = n! / n இல் n = 1 எனப் பிரதியிட 0! = 1 பெறப்படும்.
• வளர்ச்சி வீதம்: காரணியமானது அடுக்குக்குறி சார்புகளையெல்லாம் விட மிக வேகமாக வளரும்.
• லெஜெண்டரின் சூத்திரம்: n! இல் முதன்மை எண் p இன் அடுக்கு E_p(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p^2⌋ + ... ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

6! / (4! · 2!) எனும் தொடர் பெருக்கப் பின்னத்தின் பெறுமானம் யாது?

1. A. 20
2. B. 15
3. C. 30
4. D. 12

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

எண்ணுதலின் அடிப்படைக் கொள்கை

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• கட்டுப்பாட்டு இடங்களை முதலில் நிரப்புதல்: கட்டுப்பாடுகள் உள்ள இடங்களில் (இரட்டை எண், முதல் இலக்கம்) முதலில் நிரப்பிய பின்னரே ஏனைய இடங்களை நிரப்ப வேண்டும்.
• மீளவருதல் மற்றும் மீளவராமை: மீளவரலாம் எனின் n^k வழிகள்; மீளவராது எனின் nPk வழிகள்.
• புறாக்கூண்டுத் தத்துவம்: n பொருட்கள் m கூண்டுகளுக்குள் வைக்கப்படும் போது n > m எனின் குறைந்தபட்சம் ஒரு கூண்டில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருட்கள் இருக்கும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

ஒரு மாணவர் ஒரு சட்டை மற்றும் ஒரு காற்சட்டையைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார். 4 சட்டைகளும் 3 காற்சட்டைகளும் இருப்பின், எண்ணலின் அடிப்படை விதியின்படி எத்தனை வழிகளில் தெரிவு செய்யலாம்?

1. A. 12
2. B. 10
3. C. 7
4. D. 24

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

கணிதப் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க வரிசைமாற்றங்களைப் பயன்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• வட்ட வரிசைமாற்றம்: n பொருட்களை வட்டத்தில் அமைக்க (n - 1)! வழிகள்; மாலை போன்ற சுழற்சி வேறுபாடற்ற அமைப்புகளுக்கு (n - 1)! / 2 வழிகள்.
• நிரப்பு முறை: 'குறைந்தபட்சம் இருவர் ஒன்றாக' = மொத்த வழிகள் - எவரும் ஒன்றாக இல்லாத வழிகள்.
• அகராதி வரிசை: எழுத்துக்களின் அகரவரிசைப்படி ஒரு சொல்லின் வரிசை நிலையைத் தீர்மானித்தல்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

'MATHS' எனும் சொல்லிலுள்ள அனைத்து எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தி எவ்வெழுத்தும் மீண்டும் வராமல் எத்தனை 5-எழுத்து வரிசைமாற்றங்களை உருவாக்கலாம்?

1. A. 24
2. B. 120
3. C. 60
4. D. 720

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

கணிதப் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க சேர்மானங்களைப் பயன்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சேர்மானச் சமநிலை: nCx = nCy எனின் x = y அல்லது x + y = n.
• குழுக்களாகப் பிரித்தல்: சம அளவுள்ள குழுக்களாகப் பிரிக்கும் போது குழுக்களின் எண்ணிக்கையின் காரணியத்தால் வகுக்க வேண்டும்.
• கேத்திரகணித அமைப்புகள்: n புள்ளிகளிலிருந்து நேர்கோடுகளின் எண்ணிக்கை nC2; முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை nC3; பல்கோணியின் மூலைவிட்டங்கள் nC2 - n.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

7 பேர் கொண்ட குழுவிலிருந்து 3 பேர் கொண்ட உபகுழுவை எத்தனை வழிகளில் தெரிவு செய்யலாம்?

1. A. 35
2. B. 42
3. C. 21
4. D. 210

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

தாயங்களின் அடிப்படைப் பண்புகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• அணிப் பெருக்கலுக்கான நிபந்தனை: A இன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = B இன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை எனின் மட்டுமே AB வரையறுக்கப்படும்.
• பரிமாறாத் தன்மை: பொதுவாக AB ≠ BA ஆகும்.
• பூச்சியப் பகுதிகள்: AB = O என்பதனால் A = O அல்லது B = O என அர்த்தமாகாது.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

தாயகம் A இன் வரிசை 3 × 2 மற்றும் தாயகம் B இன் வரிசை 2 × 4 எனின், பெருக்கத் தாயகம் AB இன் வரிசை யாது?

1. A. Multiplication is not defined
2. B. 3 × 4
3. C. 4 × 3
4. D. 2 × 2

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சதுரத் தாயங்களின் விசேட வகைகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சுவடு (Trace): முதன்மை மூலைவிட்ட மூலகங்களின் கூட்டுத்தொகை Tr(A).
• முக்கோண அணிகள்: மேல் முக்கோண அணி மற்றும் கீழ் முக்கோண அணி.
• சமச்சீர் மற்றும் எதிர்-சமச்சீர் அணிகள்: A^T = A எனின் சமச்சீர் அணி; A^T = -A எனின் எதிர்-சமச்சீர் அணி (மூலைவிட்ட மூலகங்கள் யாவும் 0).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

M = [[3, 2], [1, 4]] எனும் 2 × 2 தாயகத்தின் அணிக்கோவை (determinant) பெறுமானம் யாது?

1. A. 14
2. B. 10
3. C. 12
4. D. 8

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

தாயத்தின் இடமாற்று மற்றும் நேர்மாறு

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• ஒருமை vs ஒருமையற்ற அணி: det(A) = 0 எனின் ஒருமை அணி (நேர்மாறு இல்லை); det(A) ≠ 0 எனின் ஒருமையற்ற அணி.
• நேர்மாறு பெருக்கல் வரிசை: (AB)^(-1) = B^(-1) * A^(-1) ஆகும்.
• செங்குத்து அணி: A^T * A = I எனின் A செங்குத்து அணி எனப்படும்; A^(-1) = A^T.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

A = [[2, 1], [5, 3]] எனும் தாயகத்தின் நேர்மாறுத் தாயகம் A⁻¹ யாது?

1. A. [[2, -1], [-5, 3]]
2. B. [[3, 1], [5, 2]]
3. C. [[3, -1], [-5, 2]]
4. D. [[-3, 1], [5, -2]]

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

ஒருங்கமை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க தாயங்களைப் பயன்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• முன்பெருக்கல் அவசியம்: AX = B இல் இடப்பக்கமாக A^(-1) ஆல் பெருக்க வேண்டும்: X = A^(-1)B.
• சமபடித்தான தொகுதிகள் (AX = O): எப்போதும் பூச்சியத் தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்; பூச்சியமற்ற தீர்வுகள் அமைய det(A) = 0 இருத்தல் வேண்டும்.
• இணக்கத்தன்மை: குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருப்பின் இணக்கமானது; தீர்வு இல்லாவிடின் இணக்கமற்றது.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

தாயக நேர்மாறு முறையைப் பயன்படுத்தி 2x + y = 7 மற்றும் 5x + 3y = 19 ஆகிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது கிடைக்கும் தீர்வு [x, y]ᵀ யாது?

1. A. x = 2, y = 3
2. B. x = 1, y = 5
3. C. x = 3, y = 1
4. D. x = 4, y = -1

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.