வகுப்பு 12 — தவணை 3

நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சமாந்தரக் கோட்டுக் குடும்பம்: ax + by + c = 0 இற்கு சமாந்தரக் கோடு ax + by + k = 0; செங்குத்துக் கோடு bx - ay + k = 0.
• சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையிலான தூரம்: d = |c1 - c2| / √(a^2 + b^2).
• ஒரே நேர்கோட்டுப் புள்ளிகள்: A, B, C ஒருகோட்டமை புள்ளிகளாக அமைய படித்திறன்கள் சமனாக இருத்தல் வேண்டும் அல்லது முக்கோணப் பரப்பு = 0.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

(2, 3) புள்ளியூடாகச் செல்வதும் படித்திறன் m = -1/2 உடையதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு யாது?

1. A. 2x + y - 7 = 0
2. B. x - 2y + 4 = 0
3. C. x + 2y - 8 = 0
4. D. x + 2y - 4 = 0

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

இடைவெட்டும் புள்ளி வழியே செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இடைவெட்டுப் புள்ளியைக் காண்பதைத் தவிர்த்தல்: L1 + λ*L2 = 0 முறையைப் பயன்படுத்துவதால் இடைவெட்டுப் புள்ளியைக் கணிக்கும் கடினமான படிமுறை தவிர்க்கப்படுகிறது.
• L2 கோட்டைக் குறித்தல்: பொதுவான l*L1 + m*L2 = 0 வடிவத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இரு கோடுகளையும் உள்ளடக்கியதாகக் கொள்ளலாம்.
• சங்கம அணிக்கோவை நிபந்தனை: மூன்று கோடுகளின் குணகங்களால் அமைக்கப்பட்ட 3x3 அணிக்கோவையின் பெறுமானம் பூச்சியமாகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

L₁ ≡ x + y - 4 = 0 மற்றும் L₂ ≡ 2x - y - 2 = 0 ஆகியவற்றின் வெட்டுப்புள்ளியூடாகவும் உற்பத்திப் புள்ளி (0, 0) ஊடாகவும் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு யாது?

1. A. y = x
2. B. y = 2x
3. C. y = -x
4. D. 2y = x

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

நேர்கோட்டிற்கு சார்பாக இரு புள்ளிகளின் அமைவிடம்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• கோட்டுத்துண்டைப் பிரிக்கும் விகிதம்: நேர்கோடு PQ துண்டைப் பிரிக்கும் விகிதம் m : n = - L(P) / L(Q); உள்வகுப்பு எனின் விகிதம் நேராகவும், வெளிவகுப்பு எனின் மறையாகவும் அமையும்.
• முக்கோணத்தினுள் புள்ளி அமைதல்: முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் எதிர் பக்கக் கோட்டின் அதே பக்கத்தில் புள்ளி P அமைந்தால் மட்டுமே அது முக்கோணத்தினுள் அமையும்.
• நேரியல் திட்டமிடல்: ax + by + c ≥ 0 போன்ற சமனின்மைத் தொகுதிகள் தளத்தில் தீர்வுப் பிரதேசங்களை உருவாக்குகின்றன.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

L ≡ 2x + 3y - 6 = 0 நேர்கோட்டைப் பொறுத்து P(1, 2) மற்றும் Q(3, -1) புள்ளிகளின் சார்பு நிலை யாது?

1. A. P and Q lie on opposite sides of the line
2. B. P lies on the line and Q lies off the line
3. C. Both P and Q lie exactly on the line
4. D. P and Q lie on the same side of the line

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

கார்ட்டீசியன் அச்சு முறைமையும் எளிய வடிவவியலும்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• ஆள்கூறுகள் மூலம் முக்கோணப் பரப்பளவு: Δ = (1/2) |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|; பரப்பளவு 0 எனின் புள்ளிகள் ஒருகோட்டமைவன.
• உள்வட்ட மையத்தின் ஆள்கூறுகள்: I = ((a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c), (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)).
• ஆய்லர் கோடு: செங்குத்து மையம் (H), மையப்போலி (G), சுற்றுவட்ட மையம் (O) ஆகியன ஒரே நேர்கோட்டில் அமையும்; HG : GO = 2 : 1.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

கார்ட்டீசியன் தளத்தில் A(-1, 4) மற்றும் B(5, -4) ஆகிய புள்ளிகளுக்கிடையிலான தூரம் யாது?

1. A. 8 units
2. B. 12 units
3. C. 14 units
4. D. 10 units

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

புள்ளியிலிருந்து நேர்கோட்டிற்கான செங்குத்துத் தூரம்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• கூர்ங்கோண, விரிகோண இருகூறாக்கிகளை வேறுபிரித்தல்: c1, c2 ஐ நேராக்கி a1*a2 + b1*b2 ஐக் கணிக்கவும்; > 0 எனின் '+' விரிகோண இருகூறாக்கியையும் '-' கூர்ங்கோண இருகூறாக்கியையும் தரும்.
• ஆரம்பப் புள்ளியைக் கொண்ட இருகூறாக்கி: c1, c2 > 0 எனின் '+' குறி ஆரம்பப் புள்ளியைக் கொண்ட கோண இருகூறாக்கியைத் தரும்.
• ஆரம்பப் புள்ளியிலிருந்தான தூரம்: d = |c| / √(a^2 + b^2) ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

(1, -2) புள்ளியிலிருந்து 3x - 4y + 9 = 0 நேர்கோட்டிற்கான செங்குத்துத் தூரம் யாது?

1. A. 5 units
2. B. 2 units
3. C. 4 units
4. D. 3 units

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

வட்டத்தின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டைக் காணல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் வட்டம்: மூன்று புள்ளிகளையும் பொதுச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு g, f, c இற்கான 3 சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்.
• வட்டத்திற்கு சார்பாக புள்ளியின் அமைவு: S1 > 0 எனின் புள்ளி வெளியே அமையும்; S1 = 0 எனின் வட்டத்தின் மீது; S1 < 0 எனின் வட்டத்தினுள் அமையும்.
• அச்சுகளில் வெட்டும் துண்டுகள்: x-அச்சில் வெட்டுந்துண்டு 2√(g^2 - c); y-அச்சில் வெட்டுந்துண்டு 2√(f^2 - c); x-அச்சைத் தொட g^2 = c மற்றும் y-அச்சைத் தொட f^2 = c.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0 எனும் பொதுச் சமன்பாட்டின் மூலம் குறிக்கப்படும் வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரம் யாது?

1. A. Center = (3, -4), Radius = 36
2. B. Center = (-3, 4), Radius = 6
3. C. Center = (-6, 8), Radius = 11
4. D. Center = (3, -4), Radius = 6

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

வட்டத்திற்கு சார்பாக நேர்கோட்டின் அமைவிடம்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• வட்டத்தின் மீதான புள்ளியில் தொடலிச் சமன்பாடு (T = 0): x*x1 + y*y1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0.
• செங்கோட்டுச் சமன்பாடு: செங்கோடு எப்போதும் வட்ட மையத்தின் (-g, -f) ஊடாகச் செல்லும்; x^2 + y^2 = a^2 இற்கு x*y1 - y*x1 = 0.
• நடுப்புள்ளி தரப்பட்ட நாணின் சமன்பாடு: நடுப்புள்ளி (x1, y1) கொண்ட நாணின் சமன்பாடு T = S1 ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

y = 2x + c எனும் நேர்கோடு x² + y² = 5 வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருப்பதற்கு c பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய நிபந்தனை யாது?

1. A. c = ±√5
2. B. c = ±10
3. C. c = ±25
4. D. c = ±5

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடலிகளின் சமன்பாடுகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• தனித் தொடலிகளைக் காணும் முறை: y - y1 = m(x - x1) கோட்டிற்கு மையத்திலிருந்து செங்குத்துத் தூரம் = r எனப் பிரயோகித்து m இற்கான இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல்.
• நிலைக்குத்துத் தொடலி: m இற்கு ஒரு தீர்வு மட்டும் கிடைத்தால், மற்றைய தொடலி நிலைக்குத்துக் கோடாகும் (x = x1).
• இயக்கு வட்டம் (Director Circle): செங்குத்துத் தொடலிகள் இடைவெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு x^2 + y^2 = 2a^2 என்ற பொதுமைய வட்டமாகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

P(4, 5) எனும் புறப்புள்ளியிலிருந்து S ≡ x² + y² - 4x - 2y - 6 = 0 வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் நீளம் யாது?

1. A. 3 units
2. B. 4 units
3. C. 9 units
4. D. √17 units

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

இடைவெட்டுப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பராமிதி λ ஐக் காணுதல்: தரப்பட்ட வெளிப்புள்ளி அல்லது செங்குத்து வட்ட நிபந்தனையைப் பிரயோகித்து λ ஐக் கணிக்கலாம்.
• மிகச்சிறிய வட்டம்: S + λ*L = 0 குடும்பத்தில் பொது நாணை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டமே மிகச்சிறிய ஆரையைக் கொண்டிருக்கும் (மையம் L = 0 இல் அமையும்).
• வெட்டாத வட்டங்களின் மூல அச்சு: வட்டங்கள் இடைவெட்டாவிட்டாலும் S1 - S2 = 0 சமன்பாடானது சம தொடலி நீளங்களைக் கொண்ட மூல அச்சைக் குறிக்கும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 வட்டம் மற்றும் L ≡ lx + my + n = 0 நேர்கோடு ஆகியவற்றின் வெட்டுப்புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு யாது?

1. A. S · L = λ
2. B. S / L = λ
3. C. S² + λ L² = 0
4. D. S + λ L = 0

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

இரு வட்டங்களின் சார்பு அமைவிடம்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• நேரடித் தொடலிகள் சந்திக்கும் புள்ளி: மையங்களை r1 : r2 என வெளிப்பிரிக்கும் வெளிப்போலி மையத்தில் சந்திக்கும்.
• குறுக்குத் தொடலிகள் சந்திக்கும் புள்ளி: மையங்களை r1 : r2 என உட்பிரிக்கும் உட்போலி மையத்தில் சந்திக்கும்.
• பொதுத் தொடலிகளின் நீளம்: நேரடித் தொடலி = √[d^2 - (r1 - r2)^2]; குறுக்குத் தொடலி = √[d^2 - (r1 + r2)^2].

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

C₁ மற்றும் C₂ மையங்களையும் r₁ மற்றும் r₂ ஆரங்களையும் கொண்ட இரு வட்டங்களின் மையங்களுக்கிடையிலான தூரம் d = r₁ + r₂ எனின், அவ்விரு வட்டங்களின் சார்பு நிலை யாது?

1. A. The circles touch each other internally
2. B. The circles touch each other externally at exactly one point
3. C. The circles intersect each other at two distinct points
4. D. One circle lies entirely inside the other without touching

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

இரு வட்டங்கள் செங்குத்தாக இடைவெட்டுவதற்கான நிபந்தனை

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• நிறுவல் முறை: C1C2^2 = r1^2 + r2^2 இல் ஆள்கூறுகளைப் பிரதியிட்டு விரிவுபடுத்த 2(g1*g2 + f1*f2) = c1 + c2 பெறப்படும்.
• மூன்று வட்டங்களுக்கு செங்குத்தான வட்டம்: இதன் மையம் மூன்று வட்டங்களின் மூல மையமாகும்; ஆரை மூல மையத்திலிருந்து வரையப்படும் தொடலியின் நீளமாகும்.
• சுய செங்குத்து வட்டம் சாத்தியமின்மை: ஒரு மெய் வட்டம் தனக்குத்தானே செங்குத்தாக அமைய முடியாது (ஆரை 0 ஆகும்).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 மற்றும் x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 ஆகிய வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுவதற்கான நிபந்தனை யாது?

1. A. 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2. B. g₁g₂ + f₁f₂ = c₁ + c₂
3. C. g₁/g₂ = f₁/f₂ = c₁/c₂
4. D. 2g₁g₂ - 2f₁f₂ = c₁ - c₂

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் தத்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• வகுபடும் தன்மை நிறுவல்: f(n) ஆனது d ஆல் வகுபடும் எனக் காட்ட f(k+1) - f(k) ஐ அமைத்து d ஐ ஒரு காரணியாக வெளிப்படுத்துதல்.
• சமனின்மை நிறுவல்கள்: f(k+1) ஐ f(k) சார்பாக எழுதி, f(k) > g(k) பிரதியீட்டின் மூலம் அது g(k+1) இலும் பெரிது எனக் காட்டுதல்.
• மாறுபட்ட அடிப்படைப் படி: n ≥ 4 இற்கு கூற்று தரப்படின் அடிப்படைப் படி n = 4 இல் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் அனைத்து நேர் நிறை எண்கள் n ≥ 1 இற்கும் P(n) உண்மை என நிறுவுவதற்குத் தேவையான இரு கட்டாயப் படிகள் எவை?

1. A. Differentiate P(n) with respect to n and set the derivative to zero
2. B. Assume P(n) is true for all n and prove P(0) = 0
3. C. Base step: Verify P(1) is true; Inductive step: Prove that if P(k) is true, then P(k + 1) is necessarily true
4. D. Compute numerical values for n = 1, 2, 3, 4, 5 and extrapolate without proof

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

முடிவுறு தொடர்களும் அவற்றின் பண்புகளும்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• கூட்டல் மற்றும் பெருக்கு இடை: AM = (a + b)/2; GM = √(ab); வேறுபட்ட நேர் எண்களுக்கு AM > GM.
• இசைத் தொடர் (H.P.): உறுப்புகளின் தலைகீழிகள் ஒரு கூட்டல் தொடரை அமைக்கும்; HM = 2ab / (a + b) மற்றும் AM * HM = GM^2.
• சிக்மா பெருக்கல் பிழை: ∑ (ur * vr) என்பது (∑ ur) * (∑ vr) இற்கு சமனல்ல.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

கூட்டுத் தொடர் ஒன்றின் முதல் உறுப்பு a = 3 மற்றும் பொது வித்தியாசம் d = 4 எனின், முதல் 20 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை S₂₀ யாது?

1. A. 1640
2. B. 790
3. C. 850
4. D. 820

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

அடிப்படைத் தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காணல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகை: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2.
• இரட்டை எண்களின் கூட்டுத்தொகை: 2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1).
• தொடர் பெருக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை: ∑_{r=1}^n r(r + 1) = n(n + 1)(n + 2) / 3.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ∑_{r=1}^n r² இற்கான மூடிய வடிவம் யாது?

1. A. [n(n + 1)] / 2
2. B. [n(n + 1)(2n + 1)] / 6
3. C. [n(n + 1) / 2]²
4. D. [n(2n + 1)(2n - 1)] / 6

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

பல்வேறு முறைகள் மூலம் தொடர்களைக் கூட்டுதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பகுதிப்பின்ன வித்தியாசத்தைக் காணல்: ur = (1/a)[1/(ar + b) - 1/(a(r+1) + b)] வடிவில் அமைத்தல்.
• இருபடி இடைவெளி நீக்கம்: ur = f(r) - f(r + 2) எனின் Sn = f(1) + f(2) - f(n + 1) - f(n + 2) என இரு முதன்மை மற்றும் இரு இறுதி உறுப்புகள் எஞ்சும்.
• முடிவிலி வரை கூட்டுத்தொகை: lim_{n->∞} f(n + 1) = 0 எனின் S_∞ = f(1) ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

வித்தியாச முறைப்படி, S_n = ∑_{r=1}^n [1 / (r(r + 1))] தொடரின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை யாது?

1. A. 1 / (n + 1)
2. B. n / (n + 1)
3. C. (n + 1) / n
4. D. n / (2n + 1)

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

ஒருங்குதல் மற்றும் விரிதலைத் தீர்மானிக்க பகுதி கூட்டுத்தொகை

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• lim un = 0 ஒருங்கலுக்கு உத்தரவாதமல்ல: இசைத் தொடர் ∑ (1/n) இன் எல்லை 0 ஆயினும் அது முடிவிலியாக விரியும் தொடராகும்.
• வித்தியாசத் தொடரின் முடிவிலி கூட்டுத்தொகை: Sn = f(1) - f(n + 1) எனின் S_∞ = f(1) - lim f(n + 1) ஆகும்.
• p-தொடர் சோதனை: ∑ 1/n^p ஆனது p > 1 எனின் ஒருங்கும்; p ≤ 1 எனின் விரியும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

முடிவிலி பெருக்குத் தொடர் a + ar + ar² + ... (a ≠ 0) ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லைப் பெறுமானத்திற்கு ஒருங்குவதற்கான (converge) நிபந்தனை யாது?

1. A. r = 1
2. B. |r| < 1 (-1 < r < 1)
3. C. r > 1
4. D. |r| ≤ 1

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.