ශ්‍රේණිය 12 — වාරය 3

සරල රේඛාවක සමීකරණය ගොඩනැගීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සමාන්තර සහ ලම්බ රේඛා පවුල්: ax + by + c = 0 ට සමාන්තර රේඛාවක් ax + by + k = 0 වේ; ලම්බ රේඛාවක් bx - ay + k = 0 වේ.
• සමාන්තර රේඛා දෙකක් අතර දුර: d = |c1 - c2| / √(a^2 + b^2).
• ඒකරේඛීය ලක්ෂ්‍ය පරීක්ෂාව: ලක්ෂ්‍ය 3 ක් ඒකරේඛීය වීමට අනුක්‍රමණ සමාන විය යුතුය, නැතහොත් ත්‍රිකෝණ වර්ගඵලය 0 විය යුතුය.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

(2, 3) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සහ අනුක්‍රමණය m = -1/2 වූ සරල රේඛාවේ සමීකරණය කුමක්ද?

1. A. 2x + y - 7 = 0
2. B. x - 2y + 4 = 0
3. C. x + 2y - 8 = 0
4. D. x + 2y - 4 = 0

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

ජේද්‍ය ලක්ෂ්‍යය හරහා යන සරල රේඛාවේ සමීකරණය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ඡේදන ඛණ්ඩාංක සෙවීම මඟහැරීම: L1 + λ*L2 = 0 භාවිත කිරීමෙන් ඡේදන ලක්ෂ්‍යය සෙවීමේ වෙහෙසකර ගණනය කිරීම් මඟහැරී ගණිතමය දෝෂ අවම වේ.
• L2 රේඛාව නිරූපණය: λ අනන්තය කරා යන බැවින් පොදු ආකාරය l*L1 + m*L2 = 0 ලෙස භාවිත කිරීම වඩාත් සුදුසුය.
• සංගාමීතා නිශ්චායකය: රේඛා 3 ක සංගුණක වලින් සෑදෙන 3x3 නිශ්චායකය 0 විය යුතුය.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

L₁ ≡ x + y - 4 = 0 සහ L₂ ≡ 2x - y - 2 = 0 රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය හරහා සහ මූල ලක්ෂ්‍යය (0, 0) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය කුමක්ද?

1. A. y = x
2. B. y = 2x
3. C. y = -x
4. D. 2y = x

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සරල රේඛාවකට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්‍ය දෙකක පිහිටීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• රේඛා ඛණ්ඩයක් බෙදන අනුපාතය: රේඛාව මගින් PQ රේඛා ඛණ්ඩය බෙදන අනුපාතය m : n = - L(P) / L(Q) වේ; අභ්‍යන්තරව බෙදීමට අනුපාතය ධන විය යුතුය.
• ත්‍රිකෝණයක් තුළ ලක්ෂ්‍යයක් පිහිටීම: P ලක්ෂ්‍යය ABC ත්‍රිකෝණය තුළ පිහිටීමට නම්, එය සෑම ශීර්ෂයක් සමගම අනුරූප සම්මුඛ පාද රේඛාවේ එකම පැත්තේ පිහිටිය යුතුය.
• රේඛීය ක්‍රමලේඛනය: ax + by + c ≥ 0 වැනි අසමානතා පද්ධති මගින් ශක්‍ය කලාප නිර්මාණය වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

L ≡ 2x + 3y - 6 = 0 සරල රේඛාවට සාපේක්ෂව P(1, 2) සහ Q(3, -1) ලක්ෂ්‍ය දෙකේ සාපේක්ෂ පිහිටීම කුමක්ද?

1. A. P and Q lie on opposite sides of the line
2. B. P lies on the line and Q lies off the line
3. C. Both P and Q lie exactly on the line
4. D. P and Q lie on the same side of the line

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

කාටීසීය අක්ෂ පද්ධතිය සහ සරල ජ්‍යාමිතිය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ශීර්ෂ මගින් ත්‍රිකෝණ වර්ගඵලය: Δ = (1/2) |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|; අගය 0 නම් ලක්ෂ්‍ය ඒකරේඛීය වේ.
• අන්තර් කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක: I = ((a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c), (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)).
• ඔයිලර් රේඛාව: ලම්බ කේන්ද්‍රය (H), කේන්ද්‍රිකය (G) සහ පරි Run කේන්ද්‍රය (O) එකම රේඛාවේ පිහිටන අතර HG : GO = 2 : 1 වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

කාටීසීය තලයේ A(-1, 4) සහ B(5, -4) ලක්ෂ්‍ය දෙක අතර දුර කොපමණද?

1. A. 8 units
2. B. 12 units
3. C. 14 units
4. D. 10 units

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවකට ඇති ලම්බ දුර

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සුළු කෝණ සහ මහා කෝණ සමච්ඡේදක වෙන්කර හඳුනාගැනීම: c1, c2 ධන වන සේ සකසා a1*a2 + b1*b2 ගණනය කරන්න; > 0 නම් '+' මහා කෝණ සමච්ඡේදකයද '-' සුළු කෝණ සමච්ඡේදකයද ලබා දෙයි.
• මූල ලක්ෂ්‍යය අඩංගු කෝණ සමච්ඡේදකය: c1, c2 > 0 විට '+' ලකුණ මගින් මූල ලක්ෂ්‍යය අඩංගු සමච්ඡේදකය ලැබේ.
• මූල ලක්ෂ්‍යයේ සිට ලම්බ දුර: O(0, 0) සිට දුර d = |c| / √(a^2 + b^2) වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

(1, -2) ලක්ෂ්‍යයේ සිට 3x - 4y + 9 = 0 සරල රේඛාවට ඇති ලම්බක දුර කොපමණද?

1. A. 5 units
2. B. 2 units
3. C. 4 units
4. D. 3 units

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

වෘත්තයක කාටීසීය සමීකරණය සෙවීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ඒකරේඛීය නොවන ලක්ෂ්‍ය 3 ක් හරහා යන වෘත්තය: ලක්ෂ්‍ය 3 හි ඛණ්ඩාංක පොදු සමීකරණයට ආදේශ කර g, f, c සඳහා සමගාමී සමීකරණ 3 ක් විසඳීම.
• වෘත්තයකට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්‍යයක පිහිටීම: S1 > 0 නම් ලක්ෂ්‍යය වෘත්තයෙන් පිටතද; S1 = 0 නම් වෘත්තය මතද; S1 < 0 නම් වෘත්තය තුළද පිහිටයි.
• ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත ඡේදනය කරන ඛණ්ඩ: x-අක්ෂය මත ඡේදනය 2√(g^2 - c) ද, y-අක්ෂය මත ඡේදනය 2√(f^2 - c) ද වේ; x-අක්ෂය ස්පර්ශ කිරීමට g^2 = c ද, y-අක්ෂය ස්පර්ශ කිරීමට f^2 = c ද වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0 සාමාන්‍ය කාටීසීය සමීකරණයෙන් දැක්වෙන වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය සහ අරය වන්නේ කුමක්ද?

1. A. Center = (3, -4), Radius = 36
2. B. Center = (-3, 4), Radius = 6
3. C. Center = (-6, 8), Radius = 11
4. D. Center = (3, -4), Radius = 6

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

වෘත්තයකට සාපේක්ෂව සරල රේඛාවක පිහිටීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• වෘත්තය මත ලක්ෂ්‍යයකදී ස්පර්ශක සමීකරණය (T = 0): x^2 + y^2 = a^2 සඳහා x*x1 + y*y1 = a^2; පොදු වෘත්තය සඳහා x*x1 + y*y1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0.
• අභිලම්භයේ සමීකරණය: අභිලම්භය සැමවිටම කේන්ද්‍රය (-g, -f) හරහා ගමන් කරයි; x^2 + y^2 = a^2 සඳහා x*y1 - y*x1 = 0 වේ.
• මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය දන්නා ජ්‍යායක සමීකරණය: මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය (x1, y1) වන ජ්‍යායේ සමීකරණය T = S1 වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

y = 2x + c සරල රේඛාව x² + y² = 5 වෘත්තයට ස්පර්ශකයක් වීම සඳහා නියතය c සපුරාලිය යුතු කොන්දේසිය කුමක්ද?

1. A. c = ±√5
2. B. c = ±10
3. C. c = ±25
4. D. c = ±5

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට වෘත්තයකට අඳින ලද ස්පර්ශක සමීකරණ

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• තනි ස්පර්ශක සෙවීමේ ක්‍රමය: y - y1 = m(x - x1) රේඛාවට කේන්ද්‍රයේ සිට ලම්බ දුර = r යොදා m සඳහා වර්ගජ සමීකරණය විසඳීම.
• සිරස් ස්පර්ශක අනතුරු ඇඟවීම: m සඳහා එක් විසඳුමක් පමණක් ලැබේ නම්, අනෙක් ස්පර්ශකය සිරස් රේඛාවකි (x = x1).
• දිශාකෘති වෘත්තය (Director Circle): එකිනෙකට ලම්බ ස්පර්ශක ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ පථය x^2 + y^2 = 2a^2 කේන්ද්‍රික වෘත්තයකි.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

P(4, 5) බාහිර ලක්ෂ්‍යයේ සිට S ≡ x² + y² - 4x - 2y - 6 = 0 වෘත්තයට අඳින ලද ස්පර්ශක ඛණ්ඩයේ දිග කුමක්ද?

1. A. 3 units
2. B. 4 units
3. C. 9 units
4. D. √17 units

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

ජේද්‍ය ලක්ෂ්‍ය හරහා යන වෘත්ත පද්ධතියේ පොදු සමීකරණය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• λ පරාමිතිය සෙවීම: බාහිර ලක්ෂ්‍යයක් ආදේශ කිරීමෙන් හෝ තුන්වන වෘත්තයකට ලම්බ වීමේ කොන්දේසිය යොදා λ ගණනය කිරීම.
• කුඩාම වෘත්තය: S + λ*L = 0 පවුලේ අවම අරයක් සහිත වෘත්තය වන්නේ පොදු ජ්‍යාය විෂ්කම්භය වන වෘත්තයයි (කේන්ද්‍රය L = 0 මත පිහිටයි).
• ඡේදනය නොවන වෘත්තවල මූල අක්ෂය: වෘත්ත ඡේදනය නොවුණද S1 - S2 = 0 මූල අක්ෂය සත්‍ය ජ්‍යාමිතික රේඛාවක් ලෙස පවතී.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 වෘත්තය සහ L ≡ lx + my + n = 0 සරල රේඛාව ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම වෘත්තයක සාමාන්‍ය සමීකරණය λ තාත්වික පරාමිතියක් ඇසුරෙන් දැක්වෙන්නේ කෙසේද?

1. A. S · L = λ
2. B. S / L = λ
3. C. S² + λ L² = 0
4. D. S + λ L = 0

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

වෘත්ත දෙකක සාපේක්ෂ පිහිටීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සෘජු පොදු ස්පර්ශක හමුවන ලක්ෂ්‍යය: කේන්ද්‍ර රේඛාව r1 : r2 ලෙස බාහිරව බෙදන බාහිර සමරූපතා කේන්ද්‍රයේදී හමුවේ.
• තීර්යක් පොදු ස්පර්ශක හමුවන ලක්ෂ්‍යය: කේන්ද්‍ර රේඛාව r1 : r2 ලෙස අභ්‍යන්තරව බෙදන අභ්‍යන්තර සමරූපතා කේන්ද්‍රයේදී හමුවේ.
• පොදු ස්පර්ශකවල දිග: සෘජු ස්පර්ශක දිග = √[d^2 - (r1 - r2)^2]; තීර්යක් ස්පර්ශක දිග = √[d^2 - (r1 + r2)^2].

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

කේන්ද්‍ර C₁ සහ C₂ ද අරයයන් පිළිවෙළින් r₁ සහ r₂ ද වූ වෘත්ත දෙකක කේන්ද්‍ර අතර දුර d = C₁C₂ මඟින් d = r₁ + r₂ තෘප්ත කරයි නම්, වෘත්ත දෙක අතර ජ්‍යාමිතික සම්බන්ධතාවය කුමක්ද?

1. A. The circles touch each other internally
2. B. The circles touch each other externally at exactly one point
3. C. The circles intersect each other at two distinct points
4. D. One circle lies entirely inside the other without touching

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

වෘත්ත දෙකක් ලම්බකව ඡේදනය වීමේ කොන්දේසිය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සාධනය: C1C2^2 = r1^2 + r2^2 සමීකරණයට ඛණ්ඩාංක ආදේශ කර සුළු කිරීමෙන් 2(g1*g2 + f1*f2) = c1 + c2 සෘජුව ලැබේ.
• වෘත්ත 3 කට ලම්බක වෘත්තය: එහි කේන්ද්‍රය එම වෘත්ත 3 හි මූල කේන්ද්‍රය වන අතර, අරය මූල කේන්ද්‍රයේ සිට අඳින ස්පර්ශකයක දිග වේ.
• ස්වයං ලම්බක විය නොහැක: සැබෑ වෘත්තයකට තමන්ටම ලම්බක විය නොහැක (අරය 0 වේ).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 සහ x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 වෘත්ත දෙක ලම්බකව (සෘජුකෝණීව) ඡේදනය වීම සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වීජීය කොන්දේසිය කුමක්ද?

1. A. 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2. B. g₁g₂ + f₁f₂ = c₁ + c₂
3. C. g₁/g₂ = f₁/f₂ = c₁/c₂
4. D. 2g₁g₂ - 2f₁f₂ = c₁ - c₂

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය භාවිතය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• බෙදීමේ සාධන: f(n) යන්න d මගින් බෙදෙන බව පෙන්වීමට f(k+1) - f(k) සලකා d පොදු සාධකයක් ලෙස වෙන් කර පෙන්වීම.
• අසමානතා සාධන: f(k+1) ප්‍රකාශනය f(k) ආශ්‍රයෙන් ලියා, f(k) > g(k) ආදේශ කර එය g(k+1) ට වඩා විශාල බව පෙන්වීම.
• වෙනත් මූලික පියවර: ප්‍රකාශය n ≥ 4 සඳහා සත්‍ය නම්, මූලික පියවර n = 4 සඳහා සනාථ කළ යුතුය.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය (Mathematical Induction) භාවිතයෙන් සියලු ධන නිඛිල n ≥ 1 සඳහා P(n) සත්‍ය බව ඔප්පු කිරීමේදී අවශ්‍ය වන අනිවාර්ය පියවර දෙක මොනවාද?

1. A. Differentiate P(n) with respect to n and set the derivative to zero
2. B. Assume P(n) is true for all n and prove P(0) = 0
3. C. Base step: Verify P(1) is true; Inductive step: Prove that if P(k) is true, then P(k + 1) is necessarily true
4. D. Compute numerical values for n = 1, 2, 3, 4, 5 and extrapolate without proof

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සාන්ත ශ්‍රේණි සහ ඒවායේ ගුණ

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සමාන්තර සහ ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍ය: AM = (a + b)/2; GM = √(ab); අසමාන ධන සංඛ්‍යා සඳහා AM > GM වේ.
• හාරාත්මක ශ්‍රේණි (H.P.): පදවල පරස්පර සමාන්තර ශ්‍රේණියක් සාදයි; HM = 2ab / (a + b) වන අතර AM * HM = GM^2 වේ.
• සිග්මා ගුණිත සීමාව: ∑ (ur * vr) යන්න කිසිවිටෙකත් (∑ ur) * (∑ vr) ට සමාන නොවේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

සමාන්තර ශ්‍රේඪියක (AP) පළමු පදය a = 3 වන අතර පොදු අන්තරය d = 4 වේ. එහි මුල් පද 20 හි ඓක්‍යය (S₂₀) කොපමණද?

1. A. 1640
2. B. 790
3. C. 850
4. D. 820

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

මූලික ශ්‍රේණිවල ඓක්‍යය සෙවීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ඔත්තේ සංඛ්‍යාවල එකතුව: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2.
• ඉරට්ට සංඛ්‍යාවල එකතුව: 2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1).
• ක්‍රමානුකූල ගුණිතවල එකතුව: ∑_{r=1}^n r(r + 1) = n(n + 1)(n + 2) / 3.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

මුල් n ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල වර්ගයන්ගේ ඓක්‍යය වන ∑_{r=1}^n r² සඳහා සංවෘත වීජීය සූත්‍රය කුමක්ද?

1. A. [n(n + 1)] / 2
2. B. [n(n + 1)(2n + 1)] / 6
3. C. [n(n + 1) / 2]²
4. D. [n(2n + 1)(2n - 1)] / 6

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

විවිධ ක්‍රම මඟින් ශ්‍රේණිවල ඓක්‍යය සෙවීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• පරස්පර ගුණිතවල f(r) හඳුනාගැනීම: ur = (1/a)[1/(ar + b) - 1/(a(r+1) + b)] ආකාරයෙන් සකස් කිරීම.
• පියවර 2 ක දුරදක්න එකතු: ur = f(r) - f(r + 2) විට මුල් පද 2 ක් සහ අවසන් පද 2 ක් ඉතිරි වේ: Sn = f(1) + f(2) - f(n+1) - f(n+2).
• අනන්තයට එකතුව: lim_{n->∞} f(n + 1) = 0 නම් S_∞ = f(1) වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

අන්තර ක්‍රමය (method of differences) භාවිතයෙන් S_n = ∑_{r=1}^n [1 / (r(r + 1))] ශ්‍රේණියේ n වන පදය දක්වා ඓක්‍යය කුමක්ද?

1. A. 1 / (n + 1)
2. B. n / (n + 1)
3. C. (n + 1) / n
4. D. n / (2n + 1)

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

අභිසාරීතාව සහ අපසාරීතාව නිර්ණය කිරීමට ආංශික ඓක්‍යය භාවිතය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• lim un = 0 වීමෙන් අභිසාරීතාව තහවුරු නොවේ: හාරාත්මක ශ්‍රේණියේ ∑ (1/n) පදයේ සීමාව 0 වුවද ශ්‍රේණිය අපසාරී වේ.
• අන්තර ශ්‍රේණිවල අනන්තයට එකතුව: Sn = f(1) - f(n + 1) විට lim_{n->∞} f(n + 1) = L නම් S_∞ = f(1) - L වේ.
• p-ශ්‍රේණි පරීක්ෂාව: ∑ 1/n^p අභිසාරී වන්නේ p > 1 විට පමණි.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

අනන්ත ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් a + ar + ar² + ... (a ≠ 0) පරිමිත අගයකට අභිසාරී (converge) වීම සඳහා පොදු අනුපාතය r සපුරාලිය යුතු කොන්දේසිය කුමක්ද?

1. A. r = 1
2. B. |r| < 1 (-1 < r < 1)
3. C. r > 1
4. D. |r| ≤ 1

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.