ශ්‍රේණිය 12 — වාරය 2

වෘත්තාකාර ශ්‍රිත (ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත)

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ගුණිත-එකතු පරිවර්තන සූත්‍ර: 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B); cos C - cos D = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2).
• t-ආදේශය: t = tan(θ/2) විට sin θ = 2t/(1 + t^2), cos θ = (1 - t^2)/(1 + t^2), tan θ = 2t/(1 - t^2).
• ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල පොදු විසඳුම්: sin θ = sin α => θ = nπ + (-1)^n α; cos θ = cos α => θ = 2nπ ± α; tan θ = tan α => θ = nπ + α (n ∈ ℤ).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

sin(2θ) යන්න tan(θ) ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කරන නිවැරදි ත්‍රිකෝණමිතික සර්වසාම්‍යය කුමක්ද?

1. A. (2 tan θ) / (1 - tan² θ)
2. B. (2 tan θ) / (1 + tan² θ)
3. C. (1 - tan² θ) / (1 + tan² θ)
4. D. (tan θ) / (1 + tan² θ)

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: B. (2 tan θ) / (1 + tan² θ). sin(2θ) = 2 sin θ cos θ = 2 (sin θ / cos θ) cos² θ = 2 tan θ / sec² θ = (2 tan θ) / (1 + tan² θ) වේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සයින් සහ කොසයින් නීති යෙදීම I

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සයින් නීතියේ අපැහැදිලි අවස්ථාව (SSA): A සුළු කෝණයක් විට b sin A < a < b නම් ත්‍රිකෝණ 2 ක් පැවතිය හැක.
• අන්තර්වෘත්ත සහ පරිවෘත්ත අරය: r = Δ/s; R = abc/(4Δ) = a/(2 sin A).
• නේපියර්ගේ සූත්‍රය: tan((B - C)/2) = [(b - c)/(b + c)] cot(A/2).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

ABC ත්‍රිකෝණයක b = 3 cm, c = 5 cm සහ කෝණය A = 60° වේ. කොසයින් නියමය භාවිතයෙන් a පාදයේ නිවැරදි දිග කොපමණද?

1. A. √34 cm
2. B. 4 cm
3. C. √19 cm
4. D. √49 cm (7 cm)

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: C. √19 cm. කොසයින් නියමය: a² = b² + c² - 2bc cos A. a² = 3² + 5² - 2(3)(5)(1/2) = 9 + 25 - 15 = 19 => a = √19 cm වේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සයින් සහ කොසයින් නීති යෙදීම II

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• කොසයින් නීතියෙන් ඇපලෝනියස් ප්‍රමේයය සාධනය: ABD සහ ACD ත්‍රිකෝණවලට කොසයින් නීතිය යොදා එකතු කළ විට cos(∠ADB) = -cos(∠ADC) බැවින් සෘජුව සනාථ වේ.
• බහිර්වෘත්ත අරයයන්ගේ සම්බන්ධතාව: 1/ra + 1/rb + 1/rc = 1/r සහ ra = Δ / (s - a).
• රේඛාවක් හා තලයක් අතර කෝණය: රේඛාවේ සිට තලයට ලම්බයක් ඇඳීමෙන් ලම්බ ප්‍රක්ෂේපණය හරහා කෝණය ගණනය කිරීම.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

පරිවෘත්ත අරය R වූ ඕනෑම ABC ත්‍රිකෝණයක සම්මත අංකනයෙන්, ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය Δ ප්‍රකාශ කරන නිවැරදි සූත්‍රය කුමක්ද?

1. A. Δ = (a b c) / (4R)
2. B. Δ = 2 R² sin A sin B sin C
3. C. Δ = (a + b + c) / (2R)
4. D. Δ = (a b c) / (2R)

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: A. Δ = (a b c) / (4R). ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය Δ = ½ a b sin C වේ. සයින් නියමයෙන් sin C = c / 2R වේ. ආදේශයෙන්: Δ = ½ a b (c / 2R) = (a b c) / (4R) ලැබේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

ශ්‍රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සැන්ඩ්විච් ප්‍රමේයය: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) සහ lim g(x) = lim h(x) = L නම් lim f(x) = L වේ; lim_{x->0} (sin x)/x = 1 සාධනයට භාවිත වේ.
• අනන්තයේදී පරිමේය ශ්‍රිතවල සීමා: x -> ∞ විට deg(P) = deg(Q) නම් සීමාව ප්‍රමුඛ සංගුණකවල අනුපාතය වේ; deg(P) < deg(Q) නම් සීමාව 0 වේ.
• රේඩියන අනිවාර්යතාව: lim_{x->0} (sin x)/x = 1 සත්‍ය වන්නේ x රේඩියන වලින් ඇති විට පමණි; අංශක වලින් තිබේ නම් සීමාව π/180 වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

lim_{x → 0} [sin(3x) / x] සීමාවේ අගය කුමක්ද?

1. A. 0
2. B. 3
3. C. 1
4. D. 1/3

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: B. 3. lim_{x → 0} [sin(3x) / x] = 3 × lim_{x → 0} [sin(3x) / 3x]. lim_{u → 0} [sin(u) / u] = 1 බැවින්, අගය = 3 × 1 = 3 වේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සුදුසු ක්‍රම මඟින් ශ්‍රිත අවකලනය කිරීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• පරාමිතික දෙවන අවකලනයේ වැරදීම: d^2y/dx^2 යනු (d^2y/dt^2)/(d^2x/dt^2) නොවේ; එය [d/dt(dy/dx)] / (dx/dt) මගින් සෙවිය යුතුය.
• ලඝුගණක අවකලනය: y = [f(x)]^g(x) ආකාරයේ ශ්‍රිත සඳහා දෙපසටම ln ගෙන අව්‍යක්තව අවකලනය කිරීම.
• ස්පර්ශක සහ අභිලම්භ: ස්පර්ශකයේ අනුක්‍රමණය m = dy/dx; අභිලම්භයේ අනුක්‍රමණය -1/m වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

y = x² · sin(x) ශ්‍රිතයේ x විෂයක අවකලනය කුමක්ද?

1. A. 2x cos(x)
2. B. x² cos(x) - 2x sin(x)
3. C. 2x sin(x) + x² cos(x)
4. D. 2x sin(x) - x² cos(x)

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: C. 2x sin(x) + x² cos(x). ගුණිත නීතිය අනුව: d/dx (u v) = u' v + u v'. dy/dx = 2x sin(x) + x² cos(x) වේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

මූලික ප්‍රමේයය ඇසුරෙන් නියත අනුකලයේ මූලික ගුණ

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ලයිබ්නිස් නීතිය: අනුකලනයක් අවකලනය කිරීම: d/dx [∫_a^{v(x)} f(t) dt] = f(v(x)) * v'(x).
• කොටස් වශයෙන් අනුකලනය: ∫_a^b u v' dx = [u v]_a^b - ∫_a^b v u' dx; u තෝරාගැනීමට LIATE මූලධර්මය භාවිත කරන්න.
• ආවර්තිත ශ්‍රිත ගුණය: T ආවර්තය වන විට ∫_0^{nT} f(x) dx = n ∫_0^T f(x) dx වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

∫₀^(π/2) sin(x) dx නියත අනුකලයේ නිවැරදි අගය කුමක්ද?

1. A. π / 2
2. B. 0
3. C. 1
4. D. -1

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: C. 1. sin(x) හි ප්‍රතිඅවකලනය -cos(x) වේ. අනුකලනය = [-cos(x)]₀^(π/2) = -cos(π/2) - (-cos(0)) = 0 - (-1) = 1 වේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

අනුකලනය මඟින් වක්‍රවලින් සීමා වූ පෙදෙසක වර්ගඵලය නිර්ණය කිරීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ලකුණු උගුල: වක්‍රය x-අක්ෂය ඡේදනය කරන විට සෘජුව අනුකලනය නොකරන්න; ධන හා සෘණ කොටස් එකිනෙක කැපී සත්‍ය වර්ගඵලය නොලැබී යයි.
• ඡේදක ලක්ෂ්‍ය සීමා ලෙස යෙදීම: f(x) = g(x) විසඳා ඡේදක ලක්ෂ්‍ය සොයාගන්න; රූප සටහනක් ඇඳ ඉහළ වක්‍රය හඳුනාගන්න.
• සමමිතිකතාව භාවිතය: ඉලිප්සය වැනි සමමිතික රූපවල එක් චතුර්ථකයක වර්ගඵලය සොයා 4 න් ගුණ කිරීම (මුළු වර්ගඵලය = πab).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

y = x² පරාවලය සහ y = x සරල රේඛාව අතර සීමා වූ පරිමිත තල ප්‍රදේශයේ වර්ගඵලය කුමක්ද?

1. A. 1/6
2. B. 5/6
3. C. 1/3
4. D. 1/2

පිළිතුර බලන්න

පිළිතුර: A. 1/6. ඡේදන ලක්ෂ්‍ය: x² = x => x = 0 සහ x = 1. වර්ගඵලය = ∫₀¹ (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6 වේ.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.