ශ්‍රේණිය 13 — වාරය 1
NIE විෂය නිර්දේශයට අනුකූලයි
ඉඩසර ඇකඩමි යෙදුමේ මෙම වාරයට පාඩම් 17ක් තිබේ (NIE ඒකක 21, 22, 23, 24). සෑම පාඩමකටම, ඔබ අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු සහ පිළිතුර සමඟ විභාග රටාවට අනුව ලියූ ප්‍රශ්නයක් මේ පිටුවේම ඇත. මේ කිසිවකට ගිණුමක් අවශ්‍ය නැත.
මෙම පිටුවේ සිංහල පෙළ යන්ත්‍ර පරිවර්තනයකි. සිංහල කතා කරන අයෙකු විසින් එය තවම පරීක්ෂා කර නැත.
මගේ පන්තියේ දැන් උගන්වන්නේ මේවාද?
එසේ නොවිය හැකියි. ඉඩසර යෙදුම පාඩම් තමන්ගේම වාරවලට බෙදා ඇති අතර, ඔබේ පාසල ඒවා වෙනත් පිළිවෙළකට ඉගැන්විය හැකියි. පාඩමක NIE ඒකකය අප දන්නා විට එය පාඩම යටතේ දක්වා ඇත. ඔබේ පන්තියේ දැන් උගන්වන ඒකකය සොයාගෙන එතැනින් පටන් ගන්න.
මෙම වාරයේ පාඩම්
සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පද්ධතිය භාවිතය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පෙළගැසිය නොහැක: z1 > z2 වැනි අසමානතා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සඳහා අර්ථවත් නොවේ.
- සෘණ සංඛ්‍යාවල වර්ගමූලය: √(-a) * √(-b) = -√(ab) වේ (+√(ab) නොවේ).
- සෘණ විවේචකයක් සහිත වර්ගජ සමීකරණ: මූල සංයුග්ම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යුගලයක් වේ: x = [-b ± i√(4ac - b^2)] / (2a).
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
i = √(-1) වන විට, i⁴⁷ කල්පිත ඒකක ප්‍රකාශනයේ අගය කුමක්ද?
- A. -i
- B. -1
- C. +1
- D. +i
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: A. -i. i හි බල 4 චක්‍රයකින් පුනරාවර්තනය වේ: i⁴ = 1 වේ. 47 = 4 × 11 + 3 බැවින්: i⁴⁷ = (i⁴)¹¹ · i³ = 1 · (-i) = -i වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල වීජීය කර්ම
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- හරය තාත්වික කිරීම: හරයේ i ඉතිරි නොකර සංයුග්මයෙන් ගුණ කර හරය x^2 + y^2 බවට පත් කිරීම.
- වර්ගමූලයේ ලකුණු නීතිය: b > 0 විට x සහ y එකම ලකුණ දරයි; b < 0 විට ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණු දරයි.
- ගුණන ප්‍රතිලෝමය: 1/z = (x - iy) / (x^2 + y^2).
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
z₁ = 2 + 3i සහ z₂ = 1 - 2i සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකෙහි ගුණිතය කුමක්ද?
- A. -4 - i
- B. 8 + i
- C. 2 - 6i
- D. 8 - i
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: D. 8 - i. (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i² = 2 - i - 6(-1) = 8 - i වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
සංකීර්ණ සංයුග්මකයේ මූලික ගුණ නිර්වචනය හා සාධනය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- ශුද්ධ තාත්වික වීමේ කොන්දේසිය: z යනු ශුද්ධ තාත්වික වන්නේ නම් සහ පමණක් z = z* වේ.
- ශුද්ධ අතාත්වික වීමේ කොන්දේසිය: z යනු ශුද්ධ අතාත්වික වන්නේ නම් සහ පමණක් z = -z* වේ.
- සංයුග්මයේ බල: (z^n)* = (z*)^n වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
z = x + iy සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ සංයුග්මය z̄ = x - iy වේ නම්, z · z̄ ගුණිතයේ අගය කුමක්ද?
- A. 2iy
- B. 2x
- C. x² + y² (which equals |z|²)
- D. x² - y²
පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: C. x² + y² (which equals |z|²). z · z̄ = (x + iy)(x - iy) = x² - i²y² = x² + y² = |z|² වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකයේ ගුණ
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- සංකීර්ණ සංඛ්‍යා 2 ක් අතර දුර: z1 සහ z2 අතර දුර |z1 - z2| මගින් ලැබේ.
- උපරිම හා අවම අගයන්: |z - z0| = r විට |z| හි උපරිම අගය |z0| + r ද, අවම අගය ||z0| - r| ද වේ.
- සමාන්තරාස්‍ර අනන්‍යතාව: |z1 + z2|^2 + |z1 - z2|^2 = 2(|z1|^2 + |z2|^2).
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
z = (3 + 4i) / (1 + i) සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ මාපාංකය |z| කොපමණද?
- A. 25 / 2
- B. 5 / √2 (or 5√2 / 2)
- C. 7 / 2
- D. 5 / 2
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: B. 5 / √2 (or 5√2 / 2). |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|. |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5. |1 + i| = √(1 + 1) = √2. එබැවින් |z| = 5 / √2 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ආගන්ඩ් සටහන ඇසුරෙන් වීජීය කර්ම ජ්‍යාමිතිකව දැක්වීම
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- ප්‍රධාන කෝණාංකය Arg(z) සොයාගැනීම: චතුර්ථකය අනුව: I හිදී θ = tan^(-1)(y/x); II හිදී θ = π - tan^(-1)|y/x|; III හිදී θ = -π + tan^(-1)|y/x|; IV හිදී θ = -tan^(-1)|y/x|.
- i මගින් ගුණ කිරීම: සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් i මගින් ගුණ කළ විට දෛශිකය වාමාවර්තව 90° කින් භ්‍රමණය වේ.
- ආගන්ඩ් තලයේ ඛණ්ඩ සූත්‍රය: z1z2 රේඛා ඛණ්ඩය m : n අනුපාතයට බෙදන ලක්ෂ්‍යය z = (m*z2 + n*z1) / (m + n) වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
ආගන්ඩ් සටහනකදී (Argand diagram), z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් කල්පිත ඒකකය i මඟින් ගුණ කිරීමෙන් z නිරූපණය කරන දෛශිකයේ සිදුවන ජ්‍යාමිතික පරිණාමනය කුමක්ද?
- A. A clockwise rotation by 90° about the origin
- B. A doubling of the vector length along its original line
- C. An anticlockwise rotation by 90° (π/2 radians) about the origin without changing magnitude
- D. A reflection across the real horizontal axis
පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: C. An anticlockwise rotation by 90° (π/2 radians) about the origin without changing magnitude. i = cos(π/2) + i sin(π/2) බැවින්, z අගය i න් ගුණ කළ විට එහි කෝණය π/2 කින් වැඩිවේ. එනම් විශාලත්වය වෙනස් නොවී මූල ලක්ෂ්‍යය වටා වාමාවර්තව 90° ක භ්‍රමණයක් නිරූපණය කරයි.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ඩි මෝවර්ගේ ප්‍රමේයය භාවිතය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- එකකයේ n වන මූල: z^n = 1 හි විසඳුම් z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) වේ; මූලයන්ගේ එකතුව 0 වේ: 1 + ω + ω^2 + ... + ω^(n-1) = 0.
- එකකයේ ඝනමූල: 1, ω, ω^2; මූලික අනන්‍යතා: 1 + ω + ω^2 = 0 සහ ω^3 = 1 වේ.
- සාධක බවට පත් කිරීම: x^n - 1 බහුපදය තාත්වික රේඛීය හා වර්ගජ සාධකවලට වෙන් කිරීම.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
ඩිමෝවර්ගේ ප්‍රමේයයට (De Moivre's Theorem) අනුව (cos θ + i sin θ)⁴ හි අගය කුමක්ද?
- A. cos(4θ) + i sin(4θ)
- B. cos⁴ θ + i sin⁴ θ
- C. 4 cos θ + 4i sin θ
- D. cos(θ/4) + i sin(θ/4)
පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: A. cos(4θ) + i sin(4θ). ඩිමෝවර්ගේ ප්‍රමේයය අනුව: (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ) වේ. n = 4 ආදේශයෙන් cos(4θ) + i sin(4θ) ලැබේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
විචල්‍ය සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක පථය සහ පෙදෙස හඳුනාගැනීම
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- චාප පථය: Arg[(z - z1)/(z - z2)] = α මගින් වෘත්ත චාපයක් නිරූපණය වේ; α = π/2 විට z1z2 විෂ්කම්භය වන අර්ධ වෘත්තයකි.
- ඉලිප්ස සහ බහුවල පථ: |z - z1| + |z - z2| = 2a මගින් ඉලිප්සයක්ද, ||z - z1| - |z - z2|| = 2a මගින් බහුවලයක්ද නිරූපණය වේ.
- විවෘත එදිරිව සංවෘත මායිම්: < හෝ > සඳහා කඩඉරි රේඛාද, ≤ හෝ ≥ සඳහා අඛණ්ඩ රේඛාද භාවිත කළ යුතුය.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
සංකීර්ණ තලයේ |z - (2 + 3i)| = 5 පථ සමීකරණය මඟින් නිරූපණය වන ජ්‍යාමිතික රූපය කුමක්ද?
- A. A straight line passing through (2, 3) with gradient 5
- B. A parabola with vertex at (2, 3)
- C. An ellipse with major axis 10
- D. A circle centered at (2, 3) with radius 5
පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: D. A circle centered at (2, 3) with radius 5. |z - z₀| = r සමීකරණයෙන් දැක්වෙන්නේ z₀ ලක්ෂ්‍යයේ සිට නියත r දුරකින් පිහිටි ලක්ෂ්‍යවල පථයයි. මෙහි z₀ = 2 + 3i සහ r = 5 බැවින්, එය කේන්ද්‍රය (2, 3) සහ අරය 5 වූ වෘත්තයකි.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ද්විපද ප්‍රසාරණයේ මූලික ගුණාංග
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- මධ්‍ය පදය සෙවීම: n ඉරට්ට නම් තනි මධ්‍ය පදයක් (T_{n/2 + 1}) ද, n ඔත්තේ නම් මධ්‍ය පද 2 ක් (T_{(n+1)/2} සහ T_{(n+3)/2}) ද පවතී.
- විශාලතම පදය සෙවීම: T_{r+1} / T_r ≥ 1 අසමානතාව විසඳීමෙන් විශාලතම සංඛ්‍යාත්මක පදය සෙවිය හැක.
- x ගෙන් ස්වායත්ත (නියත) පදය: T_{r+1} හි x හි දර්ශකය 0 ට සමාන කර r අගය ලබා ගැනීම.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
n ධන නිඛිලයක් වන විට (a + b)ⁿ ද්විපද ප්‍රසාරණයේ අඩංගු වන මුළු පද ගණන කොපමණද?
- A. n
- B. 2ⁿ
- C. n - 1
- D. n + 1
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: D. n + 1. (a + b)ⁿ = ∑_{r=0}^n ⁿC_r a^(n-r) b^r. r දර්ශකය 0 සිට n දක්වා විචලනය වන බැවින් ප්‍රසාරණයේ මුළු පද ගණන n + 1 කි.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ද්විපද ප්‍රමේයය යෙදීම
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- වලංගු ප්‍රදේශයට සකස් කිරීම: (a + bx)^n ප්‍රසාරණයට a^n පිටතට ගෙන a^n * [1 + (b/a)x]^n ආකාරයෙන් ලිවීම (මෙහි |(b/a)x| < 1 විය යුතුය).
- වර්ගමූල ආසන්න කිරීම: √2 ගණනයට (7/5)√(1 + 1/49) යොදාගැනීමෙන් x = 1/49 ඉතා කුඩා බැවින් ඉහළ නිරවද්‍යතාවක් ලැබේ.
- පරිමිත එදිරිව අනන්ත ශ්‍රේණි: n ධන නිඛිලයක් විට පද (n + 1) කින් අවසන් වේ; සෘණ හෝ භාගික විට අනන්ත පද සංඛ්‍යාවක් පවතින අතර |x| < 1 අනිවාර්ය වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
(1 + 2x)⁵ ද්විපද ප්‍රසාරණයේ x³ හි සංගුණකය කුමක්ද?
- A. 160
- B. 80
- C. 10
- D. 40
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: B. 80. සාමාන්‍ය පදය T_{r+1} = ⁵C_r (2x)^r. x³ සඳහා r = 3: T₄ = ⁵C₃ × 2³ × x³ = 10 × 8 × x³ = 80 x³. සංගුණකය = 80 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ක්‍රමාරෝපිත නිර්වචනය කිරීම
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- 0! = 1 වීමට හේතුව: (n - 1)! = n! / n සමීකරණයට n = 1 ආදේශ කළ විට 0! = 1! / 1 = 1 ලැබේ.
- වර්ධන වේගය: ක්‍රමාරෝපිත ඕනෑම ඝාතීය ශ්‍රිතයකට වඩා වේගයෙන් වර්ධනය වේ.
- ලෙජැන්ඩර්ගේ සූත්‍රය: n! තුළ p ප්‍රථමක සාධකයේ බලය E_p(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p^2⌋ + ... මගින් ලැබේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
6! / (4! · 2!) ක්‍රමාරෝපිත භාගයේ නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක අගය කුමක්ද?
- A. 20
- B. 15
- C. 30
- D. 12
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: B. 15. 6! / (4! · 2!) = (6 × 5 × 4!) / (4! × 2) = 30 / 2 = 15 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ගණන් කිරීමේ මූලික මූලධර්මය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- සීමාකාරී කොන්දේසි පළමුව පිරවීම: ඉරට්ට සංඛ්‍යා සෑදීම වැනි ගැටලුවලදී මුලින්ම සීමා පවතින ස්ථාන (ඒකක ස්ථානය) පුරවා පසුව සෙසු ස්ථාන පිරවිය යුතුය.
- පුනරාවර්තනය සහිතව සහ රහිතව: පුනරාවර්තනය සහිතව n^k ආකාරද, පුනරාවර්තනය රහිතව nPk ආකාරද ලැබේ.
- පරෙවි කූඩු මූලධර්මය: බඳුන් m සංඛ්‍යාවකට අයිතම n සංඛ්‍යාවක් දැමූ විට (n > m), අවම වශයෙන් එක් බඳුනක අයිතම එකකට වඩා අඩංගු විය යුතුය.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
සිසුවෙකු කමිසයකින් සහ කලිසමකින් සමන්විත ඇඳුමක් තෝරා ගනී. විවිධ කමිස 4 ක් සහ කලිසම් 3 ක් තිබේ නම්, මූලික ගණන් කිරීමේ මූලධර්මය අනුව සෑදිය හැකි වෙනස් ඇඳුම් සංයෝජන ගණන කොපමණද?
- A. 12
- B. 10
- C. 7
- D. 24
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: A. 12. මූලික ගුණිත මූලධර්මය අනුව: පළමු ක්‍රියාව m ආකාරයකින්ද දෙවැන්න n ආකාරයකින්ද කළ හැකි නම් මුළු ආකාර ගණන m × n = 4 × 3 = 12 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ගණිත ගැටලු විසඳීමේ ක්‍රමයක් ලෙස ක්‍රමාරෝප භාවිතය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- වෘත්තාකාර ක්‍රමාරෝපණ: වෙනස් වස්තු n ක් වෘත්තාකාරව පෙළගැස්වීමට (n - 1)! ආකාර පවතී; දක්ෂිණාවර්ත හා වාමාවර්ත සමාන නම් (මාලයක පබළු) (n - 1)! / 2 වේ.
- අනුපූරක ගණන් කිරීම: අවම වශයෙන් දෙදෙනෙකු එකට සිටීමට = මුළු ආකාර ගණන - කිසිවෙකුත් එකට නොසිටින ආකාර ගණන.
- ශබ්දකෝෂ අනුපිළිවෙළ: අකාරාදී පිළිවෙළට කලින් එන වචන ගණන ගණනය කර වචනයක ස්ථානය සෙවීම.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
'MATHS' වචනයේ සියලුම අකුරු කිසිදු අකුරක් නැවත භාවිත නොකර පිළියෙල කිරීමෙන් සෑදිය හැකි වෙනස් අකුරු 5 ක අනුක්‍රම (ක්‍රමාරෝපණ) ගණන කොපමණද?
- A. 24
- B. 120
- C. 60
- D. 720
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: B. 120. 'MATHS' හි වෙනස් අකුරු 5 ක් ඇත. වෙනස් වස්තු 5 ක පෙළගැස්වීම් ගණන = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ගණිත ගැටලු විසඳීමේ ක්‍රමයක් ලෙස සංයෝජන භාවිතය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- සංයෝජන සමානතාව: nCx = nCy නම් x = y හෝ x + y = n වේ.
- කණ්ඩායම්වලට බෙදීම: සමාන ප්‍රමාණයේ කණ්ඩායම්වලට බෙදීමේදී කණ්ඩායම් ගණනේ ක්‍රමාරෝපිතයෙන් බෙදිය යුතුය.
- ජ්‍යාමිතික ලක්ෂ්‍ය ගැටලු: ලක්ෂ්‍ය n කින් සෑදිය හැකි සරල රේඛා ගණන nC2; ත්‍රිකෝණ ගණන nC3; බහුඅස්‍රයක විකර්ණ ගණන nC2 - n = n(n - 3)/2 වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
අපේක්ෂකයින් 7 දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමකින් සාමාජිකයින් 3 දෙනෙකුගෙන් යුත් කමිටුවක් තෝරාගත හැකි වෙනස් ආකාර ගණන කොපමණද?
- A. 35
- B. 42
- C. 21
- D. 210
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: A. 35. සාමාජිකයින්ගේ පිළිවෙළ වැදගත් නොවන බැවින් සංයෝජන භාවිත වේ: ⁷C₃ = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35 ආකාර වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
න්‍යාසවල මූලික ගුණාංග
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- න්‍යාස ගුණනයේ පැවැත්ම: AB ගුණිතය අර්ථදැක්වීමට A හි තීරු ගණන B හි පේළි ගණනට සමාන විය යුතුය; m × p සහ p × n න්‍යාසවල ගුණිතය m × n වේ.
- පරිවර්ත්‍යතා නොවන ගුණය: සාමාන්‍යයෙන් AB ≠ BA වේ (ගුණනය පරිවර්ත්‍ය නොවේ).
- ශූන්‍ය භාජක: AB = O වූ පමණින් A = O හෝ B = O විය යුතු නැත.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
A න්‍යාසයේ මානය 3 × 2 වන අතර B න්‍යාසයේ මානය 2 × 4 වේ නම්, AB ගුණිත න්‍යාසයේ මානය කුමක්ද?
- A. Multiplication is not defined
- B. 3 × 4
- C. 4 × 3
- D. 2 × 2
පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: B. 3 × 4. A හි තීරු ගණන (2) B හි පේළි ගණනට (2) සමාන බැවින් ගුණිතය නිර්වචනය වේ. ප්‍රතිඵල න්‍යාසයේ මානය A හි පේළි ගණන × B හි තීරු ගණන = 3 × 4 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
සමචතුරස්‍ර න්‍යාසවල විශේෂ අවස්ථා
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- න්‍යාසයක අංශය (Trace): ප්‍රධාන විකර්ණ අවයවවල එකතුව Tr(A) වේ.
- ත්‍රිකෝණාස්‍රාකාර න්‍යාස: ඉහළ ත්‍රිකෝණාස්‍රාකාර න්‍යාසවල විකර්ණයට පහළ අවයව ශූන්‍ය වන අතර පහළ ත්‍රිකෝණාස්‍රාකාර න්‍යාසවල විකර්ණයට ඉහළ අවයව ශූන්‍ය වේ.
- සමමිතික හා විෂම සමමිතික න්‍යාස: A^T = A නම් සමමිතික වේ; A^T = -A නම් විෂම සමමිතික වන අතර විකර්ණ අවයව සියල්ල 0 වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
M = [[3, 2], [1, 4]] යන 2 × 2 න්‍යාසයේ නිශ්චයකාරකයේ (determinant) අගය කුමක්ද?
- A. 14
- B. 10
- C. 12
- D. 8
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: B. 10. 2 × 2 න්‍යාසයක නිශ්චයකාරකය det(M) = ad - bc = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
න්‍යාසයක පෙරළිය සහ ප්‍රතිලෝමය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- විලක්ෂණ එදිරිව අවිලක්ෂණ: det(A) = 0 නම් විලක්ෂණ වන අතර ප්‍රතිලෝමයක් නැත; det(A) ≠ 0 නම් අවිලක්ෂණ වන අතර අනන්‍ය ප්‍රතිලෝමයක් පවතී.
- ප්‍රතිලෝමයේ ගුණන පිළිවෙළ: (AB)^(-1) = B^(-1) * A^(-1) වේ.
- ලම්බක න්‍යාසය: A^T * A = I නම් A ලම්බක න්‍යාසයක් වන අතර A^(-1) = A^T වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
A = [[2, 1], [5, 3]] ප්‍රතිලෝම කළ හැකි 2 × 2 න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය A⁻¹ කුමක්ද?
- A. [[2, -1], [-5, 3]]
- B. [[3, 1], [5, 2]]
- C. [[3, -1], [-5, 2]]
- D. [[-3, 1], [5, -2]]
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: C. [[3, -1], [-5, 2]]. det(A) = (2)(3) - (1)(5) = 1. ප්‍රතිලෝමය = (1/det) [[d, -b], [-c, a]] = [[3, -1], [-5, 2]] වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
සමගාමී සමීකරණ විසඳීමට න්‍යාස භාවිතය
අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු
- වම්පසින් ගුණ කිරීමේ අනිවාර්යතාව: AX = B හිදී වම්පසින් A^(-1) මගින් ගුණ කළ යුතුය: X = A^(-1)B.
- සමජාතීය පද්ධති (AX = O): සැමවිටම සුළු විසඳුම (x = 0, y = 0) පවතී; ශූන්‍ය නොවන විසඳුම් පැවතීමට det(A) = 0 විය යුතුය.
- සංගතතාව: අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් හෝ පවතී නම් පද්ධතිය සංගත වේ; විසඳුම් නැතිනම් අසංගත වේ.
එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න
න්‍යාස ප්‍රතිලෝම ක්‍රමය භාවිතයෙන් 2x + y = 7 සහ 5x + 3y = 19 සමගාමී සමීකරණ පද්ධතිය විසඳූ විට ලැබෙන විසඳුම [x, y]ᵀ කුමක්ද?
- A. x = 2, y = 3
- B. x = 1, y = 5
- C. x = 3, y = 1
- D. x = 4, y = -1
පිළිතුර බලන්න
පිළිතුර: A. x = 2, y = 3. X = A⁻¹ B. A⁻¹ = [[3, -1], [-5, 2]]. X = [[3, -1], [-5, 2]] [7, 19]ᵀ = [21 - 19, -35 + 38]ᵀ = [2, 3]ᵀ. එබැවින් x = 2, y = 3 වේ.
ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.
ගිණුමක් සෑදීමට පෙර
මෙයට කීයක් වැය වේද?
මම දැනටමත් සංයුක්ත ගණිතය සඳහා ටියුෂන් පන්තියකට යනවා
එසේ නම් ඔබ සංයුක්ත ගණිතය සඳහා ගෙවන්නේ විෂය අනුව ය. ඉඩසර සැලසුමකින් ඔබට අඩු වියදමක් යයිද යන්න ඔබ යන පන්ති ගණන මත රඳා පවතී. ඒ නිසා ඔබේම ගණන් දමා බලන්න.
මිල ගණන් පිටුවේ ගණනය කර බලන්න →
මෙය දෙමාපියෙකුට පෙන්වීමට සිතන්නේද?
අනෙකුත් වාර
මෙම පිටුවේ වැරදි තොරතුරක් තිබේ නම්: එය අපට දන්වන්න