ශ්‍රේණිය 13 — වාරය 3

වෘත්තාකාර චලිතයේ ප්‍රවේගය සහ ත්වරණය විමර්ශනය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• කේන්ද්‍රාභිසාරී බලය: වෘත්තාකාරව ගමන් කිරීමට කේන්ද්‍රය දෙසට ශුද්ධ බලයක් F_c = m*v^2 / r අවශ්‍ය වේ (ආතතිය, ඝර්ෂණය හෝ අභිලම්භ ප්‍රතික්‍රියාව මගින් සපයයි).
• ආවර්ත කාලය සහ සංඛ්‍යාතය: T = 2π / ω; f = 1 / T = ω / (2π).
• ප්‍රවේග දෛශිකය සැමවිටම ස්පර්ශීය වේ: ඕනෑම මොහොතක ප්‍රවේගය වෘත්තයේ ස්පර්ශකය ඔස්සේ පිහිටයි.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

අංශුවක් අරය r = 2.0 m වූ වෘත්තාකාර පථයක v = 6.0 m s⁻¹ නියත වේගයෙන් ගමන් කරයි. එහි ස්පර්ශීය ත්වරණය a_t සහ කේන්ද්‍රාභිසාරී (අරීය) ත්වරණය a_r හි විශාලත්වයන් පිළිවෙළින් මොනවාද?

1. A. a_t = 18 m s⁻², a_r = 0
2. B. a_t = 0, a_r = 36 m s⁻²
3. C. a_t = 0, a_r = 18 m s⁻²
4. D. a_t = 3 m s⁻², a_r = 18 m s⁻²

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

තිරස් වෘත්තයක චලිතය විමර්ශනය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• තිරස් වක්‍ර මාර්ගයක ලිස්සා නොයාමේ උපරිම වේගය: v_max = √(μ g r).
• ඝර්ෂණය සහිත බැංකුගත මාර්ග: ලිස්සා නොයාමේ උපරිම වේගය: tan(θ + λ) = v_max^2 / (rg) (tan λ = μ).
• මරණ ළිඳ (Rotor): සිරස් සිලින්ඩරාකාර බිත්තියක් මත නොවැටී භ්‍රමණය වීමේ අවම කෝණික ප්‍රවේගය: ω_min = √(g / (μ r)).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

දිග L වූ සැහැල්ලු අවිතන්‍ය තන්තුවක කෙළවර m ස්කන්ධයකින් යුත් කුඩා බෝලයක් සවි කර, තන්තුව සිරසට නියත θ කෝණයක් සාදන පරිදි තිරස් වෘත්තයක භ්‍රමණය වන කේතු පැද්දුමක තන්තුවේ ආතතිය T කුමක්ද?

1. A. T = mg / cos θ
2. B. T = mg sin θ
3. C. T = mg / sin θ
4. D. T = mg cos θ

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සිරස් වෘත්තයක චලිතය පිළිබඳ මූලධර්ම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• සුමට ගෝලයක් තුළ චලිතය: R = 0 වන විට අංශුව පෘෂ්ඨයෙන් ඉවතට විසි වී පරාවලයික පථයක ගමන් කරයි; u ≤ √(2ga) විට පහළ අර්ධයේ දෝලනය වේ; u ≥ √(5ga) විට සම්පූර්ණ වටයක් යයි.
• සැහැල්ලු දණ්ඩක සවිකළ අංශුවක්: දණ්ඩකට තෙරපුම් බල දැරිය හැකි බැවින් ඉහළම ලක්ෂ්‍යයේදී v > 0 වීම පමණක් ප්‍රමාණවත්ය (u > 2√(ga)).
• ආතති වෙනස: සම්පූර්ණ සිරස් වටයකදී පහළම සහ ඉහළම ආතති අතර වෙනස T_bottom - T_top = 6mg වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

දිග r වූ සැහැල්ලු අවිතන්‍ය තන්තුවක කෙළවර ගැටගසන ලද m ස්කන්ධයක් සිරස් වෘත්තයක භ්‍රමණය කරනු ලැබේ. ඉහළම ලක්ෂ්‍යයේදී තන්තුව ලිහිල් නොවී පැවතීමට (ආතතිය T ≥ 0) අංශුව සතු විය යුතු අවම ප්‍රවේගය v_top කුමක්ද?

1. A. √(5 g r)
2. B. √(g r)
3. C. √(2 g r)
4. D. 2 √(g r)

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සරල අනුවර්තී චලිතය විශ්ලේෂණය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• උපකාරක වෘත්ත ආකෘතිය: උපකාරක වෘත්තයක් මත ඒකාකාර වෘත්ත චලිතයක විෂ්කම්භය මත ප්‍රක්ෂේපණය මගින් SHM නිරූපණය කළ හැක.
• SHM හි ශක්තිය: චාලක ශක්තිය E_k = (1/2)m ω^2(a^2 - x^2); විභව ශක්තිය E_p = (1/2)m ω^2 x^2; මුළු ශක්තිය E = (1/2)m ω^2 a^2 (නියතයකි).
• ගමන් කාලය ගණනය: කේන්ද්‍රයේ සිට x1 දක්වා කාලය t = (1/ω) sin^(-1)(x1/a).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

ẍ = -16x සමීකරණයෙන් දැක්වෙන සරල අනුවර්තී චලිතයක (SHM) යෙදෙන අංශුවක දෝලන විස්තාරය A = 0.50 m වේ නම්, අංශුවේ උපරිම වේගය v_max කොපමණද?

1. A. 1.0 m s⁻¹
2. B. 8.0 m s⁻¹
3. C. 2.0 m s⁻¹
4. D. 4.0 m s⁻¹

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

තිරස් රේඛාවක සරල අනුවර්තී චලිතයේ ස්වභාවය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• බුරුල් වන චලිතයේ මුළු කාලය: මුළු ආවර්ත කාලය = (තන්තුව තදව පවතින SHM කාලය) + (තන්තුව බුරුල්ව නියත ප්‍රවේගයෙන් යන කාලය).
• ප්‍රත්‍යාස්ථ විභව ශක්තිය: E_e = (1/2)(λ/l)x^2 = (1/2)Tx.
• තිරස් SHM හි ශක්ති සංස්ථිතිය: (1/2)mv^2 + (1/2)(λ/l)x^2 = නියතයකි.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

සුමට තිරස් මේසයක් මත තබා ඇති දෘඪතාව k = 20 N m⁻¹ වූ ප්‍රශස්ථ තිරස් දුන්නකට 0.20 kg ස්කන්ධයක් සවි කර ඝර්ෂණයෙන් තොරව දෝලනය වීමට සලස්වා ඇත. දෝලන ආවර්ත කාලය T කොපමණද?

1. A. 0.20π s (approx 0.628 s)
2. B. 1.0 s
3. C. 0.40π s
4. D. 0.10π s

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සිරස් රේඛාවක සරල අනුවර්තී චලිතයේ ස්වභාවය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• බුරුල් නොවී පූර්ණ දෝලනය වීමේ කොන්දේසිය: විස්තාරය a ≤ e = mgl/λ විය යුතුය.
• තන්තුව බුරුල් වූ පසු නගින උපරිම උස (a > e): බුරුල් වන ලක්ෂ්‍යයේදී ප්‍රවේගය v_slack = ω√(a^2 - e^2) වන අතර ගුරුත්වය යටතේ නගින අමතර උස h_add = v^2 / (2g) වේ.
• මුළු යාන්ත්‍රික ශක්ති සංස්ථිතිය: චාලක ශක්තිය + ගුරුත්වාකර්ෂණ විභව ශක්තිය + ප්‍රත්‍යාස්ථ විභව ශක්තිය නියතව පවතී.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

සිරස්ව එල්ලා ඇති සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යාස්ථ දුන්නකට m ස්කන්ධයක් සම්බන්ධ කළ විට එය සමතුලිතතාවයේදී e = 0.098 m ප්‍රමාණයකින් ඇදේ. ඉන්පසු ස්කන්ධය සුළු වශයෙන් පහළට ඇද මුදා හරිනු ලැබේ. g = 9.8 m s⁻² නම් සිරස් දෝලනවල ආවර්ත කාලය කුමක්ද?

1. A. 0.50 s
2. B. 1.0 s
3. C. 0.10π s
4. D. 0.20π s (approx 0.628 s)

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සසම්භාවී පරීක්ෂණයක සිදුවීම් අර්ථකථනය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• ඩි මෝර්ගන් නීති: (A ∪ B)' = A' ∩ B' (A හෝ B කිසිවක් සිදු නොවීම); (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
• සිද්ධිවල අන්තරය: A - B = A ∩ B' (A සිදු වේ නමුත් B සිදු නොවේ); P(A ∩ B') = P(A) - P(A ∩ B).
• වෙන් සටහන්: නියැදි අවකාශය අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර කොටස් 4 කට බෙදා විශ්ලේෂණය කිරීම.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

නියැදි අවකාශයක A සහ B සිදුවීම් දෙක අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර (mutually exclusive) වේ. P(A) = 0.35 සහ P(B) = 0.45 නම්, P(A ∪ B) හි අගය කුමක්ද?

1. A. 0.1575
2. B. 0.6425
3. C. 0.10
4. D. 0.80

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සසම්භාවී සිදුවීම් පිළිබඳ ගැටලු විසඳීමට සම්භාවිතා ආකෘති යෙදීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර එදිරිව ස්වායත්ත වෙනස: අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර යනු එකවර සිදු විය නොහැක (P(A ∩ B) = 0); ස්වායත්ත යනු P(A ∩ B) = P(A)*P(B); ශූන්‍ය නොවන සම්භාවිතා සහිත සිද්ධි දෙකකට එකවර මේ දෙකම විය නොහැක!
• අවම වශයෙන් එකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව: P(අවම වශයෙන් එකක්) = 1 - P(කිසිවක් සිදු නොවීම).
• A හෝ B අතුරින් එකක් පමණක් සිදුවීම: P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

A සහ B යනු ස්වායත්ත සිදුවීම් දෙකක් වන අතර P(A) = 0.40 සහ P(B) = 0.50 වේ. අවම වශයෙන් එක් සිදුවීමක් හෝ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(A ∪ B) කුමක්ද?

1. A. 0.60
2. B. 0.20
3. C. 0.70
4. D. 0.90

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සප්‍රතිබන්ධ සම්භාවිතාව භාවිතය

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• P(A | B) ≠ P(B | A) අසමමිතිය: සප්‍රතිබන්ධ සම්භාවිතාව දෙපැත්තට සමාන නොවේ.
• නැවත දැමීම සහිතව සහ රහිතව: නැවත නොදමා ලබා ගැනීමේදී පසු සිදුවීම් පූර්ව සිදුවීම් මත පරායත්ත වේ; නැවත දමා ගැනීමේදී ස්වායත්ත වේ.
• සම්පූර්ණ සම්භාවිතා නියමය: නියැදි අවකාශය B1, B2, ..., Bn ලෙස බෙදී ඇති විට P(A) = ∑ P(Bi) * P(A | Bi) වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

A සහ B සිදුවීම් දෙකක් සඳහා P(B) = 0.50 සහ P(A ∩ B) = 0.15 වේ. B සිදුවී ඇති බව දී ඇති විට A සිදුවීමේ කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව P(A | B) කුමක්ද?

1. A. 0.35
2. B. 0.075
3. C. 0.30
4. D. 0.65

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

ගැටලු විසඳීමට බේයස් ප්‍රමේයය යෙදීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• වෛද්‍ය පරීක්ෂණ විරුද්ධාභාසය: සමාජයේ රෝග පැතිරීම (පූර්ව සම්භාවිතාව) ඉතා අඩු විට, පරීක්ෂණයක් ධන වුවද රෝගය සැබවින්ම පැවතීමේ පශ්චාත් සම්භාවිතාව අනපේක්ෂිත ලෙස අඩු විය හැක.
• හරය සම්පූර්ණ සම්භාවිතා නියමය වේ: බේස් සූත්‍රයේ හරය යනු P(A) හි මුළු සම්භාවිතාවයි.
• ද්විමය අවස්ථාව: P(B | A) = [P(B) P(A | B)] / [P(B) P(A | B) + P(B') P(A | B')].

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

X සහ Y කර්මාන්තශාලා දෙකක් බල්බ නිෂ්පාදනය කරයි. X කර්මාන්තශාලාව මුළු නිෂ්පාදනයෙන් 60% ක් නිපදවන අතර එහි දෝෂ ප්‍රතිශතය 2% කි. Y කර්මාන්තශාලාව 40% ක් නිපදවන අතර දෝෂ ප්‍රතිශතය 5% කි. අහඹු ලෙස පරීක්ෂා කළ බල්බයක් දෝෂ සහිත බව පෙනී ගියහොත්, එය X කර්මාන්තශාලාවේ නිෂ්පාදනයක් වීමේ සම්භාවිතාව (බේස් ප්‍රමේයයෙන්) කොපමණද?

1. A. 3/8 (0.375)
2. B. 1/2 (0.500)
3. C. 3/5 (0.600)
4. D. 5/8 (0.625)

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සංඛ්‍යානයේ ස්වභාවය හැඳින්වීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• පන්ති සීමා එදිරිව පන්ති මායිම්: 10-19, 20-29 සඳහා සත්‍ය පන්ති මායිම් වන්නේ 9.5-19.5 සහ 19.5-29.5 වේ (පන්ති පළල = 10).
• පන්ති මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය x: x = (පහළ මායිම + ඉහළ මායිම) / 2.
• සංඛ්‍යාත ඝනත්වය: පන්ති පළල අසමාන වන විට හිස්ටෝග්‍රෑමයේ තීරු උස = සංඛ්‍යාතය / පන්ති පළල විය යුතුය.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

සංඛ්‍යාන දත්ත රැස්කිරීමේදී පහත සඳහන් විචල්‍යයන් අතුරින් විවික්ත ප්‍රමාණාත්මක විචල්‍යයක් (discrete quantitative variable) ලෙස නිවැරදිව වර්ගීකරණය වන්නේ කුමක්ද?

1. A. The height of a competitor measured in meters
2. B. The eye color of an applicant
3. C. The number of students present in a classroom
4. D. The body temperature of a patient measured in °C

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

කේන්ද්‍රික ප්‍රවණතා මිනුම් විස්තර කිරීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• අන්ත අගයන්ට සංවේදීතාව: මධ්‍යන්‍යය අන්ත අගයන් නිසා දැඩි ලෙස වෙනස් වේ; මධ්‍යස්ථය අන්ත අගයන්ගෙන් බලපෑමට ලක් නොවේ.
• අනුභූතික සම්බන්ධතාව: මධ්‍යන්‍යය - මාතය ≈ 3 * (මධ්‍යන්‍යය - මධ්‍යස්ථය).
• මධ්‍යන්‍යයෙන් අපගමනවල එකතුව: ∑ (x_i - x̄) = 0 වේ.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

මධ්‍යස්ථ ලෙස විෂම වූ ඒක-ප්‍රකාර සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තියක මධ්‍යන්‍යය 24 ක් සහ මධ්‍යස්ථය 22 ක් වේ. මධ්‍ය ප්‍රවණතා මිනුම් අතර පියර්සන්ගේ ප්‍රත්‍යක්ෂ සම්බන්ධතාව භාවිතයෙන් ප්‍රකාරය (mode) කොපමණදැයි ඇස්තමේන්තු කරන්න.

1. A. 20
2. B. 16
3. C. 26
4. D. 18

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

සාපේක්ෂ පිහිටුම් මිනුම් ඇසුරෙන් සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තියක් අර්ථකථනය කිරීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• අන්ත අගයන් හඳුනාගැනීමේ 1.5*IQR නීතිය: x < Q1 - 1.5*IQR හෝ x > Q3 + 1.5*IQR නම් එය අසාමාන්‍ය අන්ත අගයක් ලෙස සැලකේ.
• ඕජීවයෙන් චතුර්ථක සෙවීම: සංචිත සංඛ්‍යාත වක්‍රයේ y-අක්ෂයේ N/4, N/2 සහ 3N/4 අගයන්ට අනුරූප x අගයන් කියවීම.
• බවුලිගේ විෂමතා සංගුණකය: Sk = (Q3 + Q1 - 2*Q2) / (Q3 - Q1).

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

විභාග ලකුණු දත්ත සමූහයක පළමු චතුර්ථකය Q₁ = 45 සහ තුන්වන චතුර්ථකය Q₃ = 75 වේ. අන්තර්චතුර්ථක පරාසය (IQR) සහ අර්ධ-අන්තර්චතුර්ථක පරාසය (චතුර්ථක අපගමනය) පිළිවෙළින් කොපමණද?

1. A. IQR = 15, Quartile Deviation = 30
2. B. IQR = 30, Quartile Deviation = 15
3. C. IQR = 120, Quartile Deviation = 60
4. D. IQR = 30, Quartile Deviation = 30

පිළිතුරු තේරීම් ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් ඇත.

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.

අපකිරණ මිනුම් විස්තර කිරීම

අනිවාර්යයෙන් දැනගත යුතු කරුණු

• රේඛීය පරිවර්තනයක බලපෑම: y = ax + b විට නව මධ්‍යන්‍යය ȳ = a*x̄ + b; නව විචල්‍යතාව σ_y^2 = a^2 * σ_x^2 (b මගින් විසිරුමට බලපෑමක් නැත); නව සම්මත අපගමනය σ_y = |a| * σ_x වේ.
• විචල්‍යතා සංගුණකය (CV): ඒකක වලින් ස්වායත්ත සාපේක්ෂ විසිරුම් මිනුමයි: CV = (σ / x̄) * 100%; අඩු CV අගයක් යනු ඉහළ ස්ථායීතාවයයි.
• සංයුක්ත විචල්‍යතාව: නියැදි දෙකක් එක් කළ විට සංයුක්ත විචල්‍යතාව ගණනය කිරීම.

එක ප්‍රශ්නයක් උත්සාහ කරන්න

{2, 4, 6, 8, 10} යන නිරීක්ෂණ 5 ක නියැදිය සඳහා ගහන විචල්‍යතාවය (variance, σ²) කුමක්ද?

1. A. 10.0
2. B. 6.0
3. C. 2.83
4. D. 8.0

ඉඩසර විසින් විභාග රටාවට අනුව ලියූ ආදර්ශ ප්‍රශ්නයකි. පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රයකින් ගත් එකක් නොවේ.