வகுப்பு 13 — தவணை 3

வட்ட இயக்கத்தின் வேகம் மற்றும் ஆர்முடுகலை ஆராய்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மையநோக்கு விசைத் தேவை: வட்ட இயக்கத்தைப் பேண மையத்தை நோக்கிய விசை F_c = m*v^2 / r = m*r*ω^2 அவசியமாகும் (இழுவை, உராய்வு மூலம் பெறப்படும்).
• அலைவுக்காலமும் மீடிறனும்: T = 2π / ω; f = 1 / T = ω / (2π).
• திசைவேகக் காவி எப்போதும் தொடலி வழியாகும்: ஒவ்வொரு கணத்திலும் நேர்கோட்டு வேகம் வளைவின் தொடலி வழியே அமையும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

2.0 m ஆரமுடைய வட்டப்பாதையில் 6.0 m s⁻¹ மாறா வேகத்தில் இயங்கும் துகளின் தொடலி முடுக்கம் a_t மற்றும் மையநோக்கு முடுக்கம் a_r யாவை?

1. A. a_t = 18 m s⁻², a_r = 0
2. B. a_t = 0, a_r = 36 m s⁻²
3. C. a_t = 0, a_r = 18 m s⁻²
4. D. a_t = 3 m s⁻², a_r = 18 m s⁻²

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

கிடைமட்ட வட்ட இயக்கத்தை ஆராய்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சாய்வற்ற வீதியில் வழுக்காத உயர் கதி: v_max = √(μ g r).
• உராய்வுடைய சாய்க்கப்பட்ட வீதி: மேல்நோக்கி வழுக்காத உயர் கதி: tan(θ + λ) = v_max^2 / (rg) (tan λ = μ).
• மரணக் கிணறு இயக்கம்: செங்குத்து உருளையில் வழுக்கி விழாதிருக்க குறைந்தபட்ச கோண வேகம்: ω_min = √(g / (μ r)).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

நீளம் L உடைய இழையில் தொங்கவிடப்பட்ட m திணிவுடைய கூம்பு ஊசல் செங்குத்துடன் θ கோணத்தை அமைத்து கிடைவட்டத்தில் சுழல்கிறது. இழையின் இழுவை T யாது?

1. A. T = mg / cos θ
2. B. T = mg sin θ
3. C. T = mg / sin θ
4. D. T = mg cos θ

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

நிலைக்குத்து வட்ட இயக்கக் கொள்கைகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• ஒப்பமான கோளத்தினுள் இயக்கம்: R = 0 ஆகும்போது துணிக்கை மேற்பரப்பை விட்டு விலகி எறியப் பாதையில் செல்லும்; u ≤ √(2ga) எனின் அலைவுறும்; u ≥ √(5ga) எனின் முழு வட்டமாகச் சுழலும்.
• விறைப்பான கோலில் துணிக்கை: கோல் உதைப்பைத் தாங்குவதால் உச்சியில் v > 0 ஆக இருந்தாலே போதுமானது: u > 2√(ga).
• இழுவை வித்தியாசம்: எந்தவொரு முழு நிலைக்குத்து வட்ட இயக்கத்திலும்: T_bottom - T_top = 6mg மாறிலியாகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

r நீளமுள்ள இழையில் கட்டப்பட்ட m திணிவுடைய துகள் நிலைக்குத்து வட்டத்தில் சுழற்றப்படுகிறது. உச்சியில் இழை தளர்வடையாமல் இருப்பதற்குத் தேவையான ஆகக்குறைந்த வேகம் v_top யாது?

1. A. √(5 g r)
2. B. √(g r)
3. C. √(2 g r)
4. D. 2 √(g r)

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

எளிய இசை இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• துணை வட்ட மாதிரி: சீரான வட்ட இயக்கத்தின் விட்டத்தின் மீதான வீழலாக SHM ஐக் குறிக்கலாம்.
• SHM இன் சக்தி: இயக்க சக்தி E_k = (1/2)m ω^2(a^2 - x^2); அழுத்த சக்தி E_p = (1/2)m ω^2 x^2; மொத்த சக்தி E = (1/2)m ω^2 a^2 (மாறிலி).
• நேரத்தைக் கணித்தல்: மையத்திலிருந்து x1 வரை செல்ல எடுக்கும் நேரம் t = (1/ω) sin^(-1)(x1/a).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

ẍ = -16x இனால் குறிக்கப்படும் எளிய இசையியக்கத்தின் வீச்சம் A = 0.50 m எனின், துகளின் அதிகூடிய வேகம் v_max யாது?

1. A. 1.0 m s⁻¹
2. B. 8.0 m s⁻¹
3. C. 2.0 m s⁻¹
4. D. 4.0 m s⁻¹

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

கிடைக்கோட்டில் எளிய இசை இயக்கத்தின் இயல்பு

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இழை தளர்வடையும் கூட்டு இயக்கத்தின் முழுக் காலம்: மொத்த அலைவுக்காலம் = (SHM இயங்கும் காலம்) + (மாறா வேகத்தில் செல்லும் காலம்).
• மீள்தன்மை அழுத்த சக்தி: E_e = (1/2)(λ/l)x^2 = (1/2)Tx.
• கிடை SHM இல் சக்தி காப்பு: (1/2)mv^2 + (1/2)(λ/l)x^2 = மாறிலி.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

k = 20 N m⁻¹ விறைப்புடைய கிடை வில்லில் இணைக்கப்பட்ட m = 0.20 kg திணிவு உராய்வற்ற மேசையில் அதிர்கிறது. அதன் அலைவுக்காலம் T யாது?

1. A. 0.20π s (approx 0.628 s)
2. B. 1.0 s
3. C. 0.40π s
4. D. 0.10π s

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

நிலைக்குத்துக் கோட்டில் எளிய இசை இயக்கத்தின் இயல்பு

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இழை தளர்வடையாது முழு அலைவுக்கான நிபந்தனை: வீச்சம் a ≤ e = mgl/λ இருத்தல் வேண்டும்.
• இழை தளர்வடைந்த பின் அடையும் உயர் உயரம் (a > e): தளர்வடையும் புள்ளியில் வேகம் v_slack = ω√(a^2 - e^2); மேலதிகமாக உயரும் உயரம் h_add = v^2 / (2g).
• மொத்த இயந்திர சக்தி காப்பு: இயக்க சக்தி + ஈர்ப்பு அழுத்த சக்தி + மீள்தன்மை அழுத்த சக்தி மாறிலியாகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

நிலைக்குத்தாகத் தொங்கும் வில்லில் m திணிவு இணைக்கப்படும்போது அது e = 0.098 m சமநிலை நீட்சியை அடைகிறது. சிறிய இடப்பெயர்ச்சியின் பின் அது விடப்பட்டால் அலைவுக்காலம் யாது? (g = 9.8 m s⁻²)

1. A. 0.50 s
2. B. 1.0 s
3. C. 0.10π s
4. D. 0.20π s (approx 0.628 s)

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

எழுமாற்று பரிசோதனையின் நிகழ்ச்சிகளை விளக்குதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• டி மோர்கனின் விதிகள்: (A ∪ B)' = A' ∩ B'; (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
• நிகழ்ச்சிகளின் வித்தியாசம்: A - B = A ∩ B' (A நிகழும் ஆனால் B நிகழாது); P(A ∩ B') = P(A) - P(A ∩ B).
• வென் வரிப்படம்: மாதிரி வெளியை 4 தனித்தனி பகுதிகளாகப் பிரித்து தீர்வு காணுதல்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

A மற்றும் B என்பன ஒன்றுக்கொன்று புறநீங்கும் (mutually exclusive) நிகழ்ச்சிகள். P(A) = 0.35 மற்றும் P(B) = 0.45 எனின், P(A ∪ B) யாது?

1. A. 0.1575
2. B. 0.6425
3. C. 0.10
4. D. 0.80

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

எழுமாற்று நிகழ்ச்சிகளுக்கு நிகழ்தகவு மாதிரிகளைப் பிரயோகித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• ஒன்றையொன்று தவிர்ப்பன vs சாரா நிகழ்ச்சிகள்: ஒன்றையொன்று தவிர்ப்பன எனின் P(A ∩ B) = 0; சாரா நிகழ்ச்சிகள் எனின் P(A ∩ B) = P(A)*P(B); பூச்சியமற்ற நிகழ்தகவுடைய இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே நேரத்தில் இரண்டாகவும் இருக்க முடியாது.
• குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிகழும் நிகழ்தகவு: P(குறைந்தது ஒன்று) = 1 - P(எதுவுமே நிகழாமை).
• A அல்லது B இல் ஒன்று மட்டுமே நிகழ்தல்: P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

A மற்றும் B என்பன சுயாதீன நிகழ்ச்சிகள்; P(A) = 0.40 மற்றும் P(B) = 0.50. குறைந்தது ஒரு நிகழ்ச்சியாவது நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு P(A ∪ B) யாது?

1. A. 0.60
2. B. 0.20
3. C. 0.70
4. D. 0.90

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

நிபந்தனை நிகழ்தகவுக் கருத்தை பிரயோகித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• P(A | B) ≠ P(B | A) சமச்சீரற்ற தன்மை: நிபந்தனை நிகழ்தகவு இரு திசைகளிலும் சமனல்ல.
• மீள வைத்தலும் மீள வையாமையும்: மீள வைக்காமல் எடுக்கும் போது அடுத்தடுத்த நிகழ்வுகள் தங்கியிருக்கும்; மீள வைக்கும் போது சாரா நிகழ்வுகளாக இருக்கும்.
• மொத்த நிகழ்தகவு விதி: P(A) = ∑ P(Bi) * P(A | Bi).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

P(B) = 0.50 மற்றும் P(A ∩ B) = 0.15 எனின், நிபந்தனை நிகழ்தகவு P(A | B) யாது?

1. A. 0.35
2. B. 0.075
3. C. 0.30
4. D. 0.65

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

பேயீஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திப் பிரசினங்களைத் தீர்த்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மருத்துவப் பரிசோதனை முரண்பாடு: ஒரு நோய் சமூகத்தில் மிக அரிதாகக் காணப்படும் போது, பரிசோதனை நேராக அமைந்தாலும் நோய் இருப்பதற்கான பின்நிகழ்தகவு வியக்கத்தக்க வகையில் குறைவாக அமையலாம்.
• பகுதி மொத்த நிகழ்தகவு விதியாகும்: பேயேஸ் சூத்திரத்தின் பகுதியானது P(A) இன் மொத்த நிகழ்தகவைக் குறிக்கும்.
• இருநிலை வடிவம்: P(B | A) = [P(B) P(A | B)] / [P(B) P(A | B) + P(B') P(A | B')].

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

தொழிற்சாலை X ஆனது 60% பல்புகளை 2% குறைபாட்டுடன் உற்பத்தி செய்கிறது; தொழிற்சாலை Y ஆனது 40% பல்புகளை 5% குறைபாட்டுடன் உற்பத்தி செய்கிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பல்பு குறைபாடுடையதாயின், அது X இல் உற்பத்தியானதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

1. A. 3/8 (0.375)
2. B. 1/2 (0.500)
3. C. 3/5 (0.600)
4. D. 5/8 (0.625)

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

புள்ளியியலின் இயல்பை அறிமுகப்படுத்துதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• வகுப்பு எல்லைகள் vs வகுப்பு வரம்புகள்: 10-19 இற்கான உண்மை வகுப்பு எல்லைகள் 9.5 - 19.5 ஆகும் (வகுப்பகலம் = 10).
• வகுப்பு நடுப்புள்ளி x: x = (கீழ் எல்லை + மேல் எல்லை) / 2.
• அலைவெண் அடர்த்தி: வகுப்பகலங்கள் சமனற்ற போது செவ்வக உயரம் = அலைவெண் / வகுப்பகலம் என அமைய வேண்டும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

புள்ளியியல் தரவு சேகரிப்பில் பின்வருவனவற்றுள் எது தனித்த அளவறி மாறி (discrete quantitative variable) ஆகும்?

1. A. The height of a competitor measured in meters
2. B. The eye color of an applicant
3. C. The number of students present in a classroom
4. D. The body temperature of a patient measured in °C

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

மையப் போக்கு அளவைகளை விவரித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• எல்லை மதிப்புகளின் தாக்கம்: இடை எல்லை மதிப்புகளால் பெரிதும் பாதிக்கப்படும்; இடைப் புள்ளி எல்லை மதிப்புகளால் பாதிக்கப்படாது.
• அனுபவவாதத் தொடர்பு: இடை - ஆகாரம் ≈ 3 * (இடை - இடைப் புள்ளி).
• இடையிலிருந்தான விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை: எப்போதும் பூச்சியமாகும்: ∑ (x_i - x̄) = 0.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

ஒரு சமச்சீரற்ற பரம்பலில் சராசரி 24 மற்றும் இடைமட்டம் 22 எனின், பியர்சனின் தொடர்புப்படி முகடு யாது?

1. A. 20
2. B. 16
3. C. 26
4. D. 18

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சார்பு நிலைகளின் அளவைகள் மூலம் மீடிறன் பரம்பலை விளக்குதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• 1.5*IQR வெளிப்பகுதி மதிப்பு விதி: x < Q1 - 1.5*IQR அல்லது x > Q3 + 1.5*IQR எனின் அது பிறழ்வு மதிப்பாகக் கருதப்படும்.
• ஓஜிவ் மூலம் காற்படிகள்: திரள் அலைவெண் வளைவில் N/4, N/2, 3N/4 இற்கு நேரே x-அச்சு மதிப்புகளை வாசித்தல்.
• பௌலியின் சமச்சீரற்ற குணகம்: Sk = (Q3 + Q1 - 2*Q2) / (Q3 - Q1).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

தரவுத்தொகுதி ஒன்றில் கீழ் காலணை Q₁ = 45 மற்றும் மேல் காலணை Q₃ = 75 எனின், காலணையிடை வீச்சு (IQR) மற்றும் காலணை விலகல் யாவை?

1. A. IQR = 15, Quartile Deviation = 30
2. B. IQR = 30, Quartile Deviation = 15
3. C. IQR = 120, Quartile Deviation = 60
4. D. IQR = 30, Quartile Deviation = 30

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சிதறல் அளவைகளை விவரித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• நேரியல் மாற்றங்களின் தாக்கம்: y = ax + b எனின் புதிய இடை ȳ = a*x̄ + b; புதிய மாறுபாட்டளவை σ_y^2 = a^2 * σ_x^2; புதிய நியம விலகல் σ_y = |a| * σ_x.
• மாறுபடும் குணகம் (CV): அலகுகளில் தங்கியிராத சார்பு சிதறல் அளவை: CV = (σ / x̄) * 100%; குறைந்த CV அதிக நிலையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• கூட்டு மாறுபாட்டளவை: இரு மாதிரிகள் இணைக்கப்படும் போது கூட்டு மாறுபாட்டளவையைக் கணிக்கலாம்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

{2, 4, 6, 8, 10} எனும் தரவுகளின் பரவற்படி (variance, σ²) யாது?

1. A. 10.0
2. B. 6.0
3. C. 2.83
4. D. 8.0

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.