வகுப்பு 12 — தவணை 1

இருபடிச் சார்புகளை பகுப்பாய்வு செய்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• உச்சியின் ஆள்கூறுகள்: பரவளைவின் உச்சி (-b/(2a), -(b^2 - 4ac)/(4a)) ஆகும்; சமச்சீர் அச்சு x = -b/(2a).
• பொது மூலத்திற்கான நிபந்தனை: இரு சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொது மூலம் அமைய குறுக்குப் பெருக்கல் மூலம் (c1*a2 - c2*a1)^2 = (a1*b2 - a2*b1)(b1*c2 - b2*c1) பெறப்படும்.
• மூலங்களின் குறிகள்: இரு மூலங்களும் நேர் மூலங்களாக அமைய Δ ≥ 0, α + β > 0, மற்றும் αβ > 0; ஒன்று நேர் மற்றையது மறையாக அமைய αβ < 0 போதுமானது.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

x² - 5x + 3 = 0 எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β எனின், α² + β² இன் பெறுமானம் யாது?

1. A. 19
2. B. 22
3. C. 25
4. D. 31

விடையைப் பார்க்க

விடை: A. 19. மூலங்களின் கூட்டல் α + β = 5, பெருக்கல் αβ = 3. இயற்கணித முற்றொருமை: α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 25 - 6 = 19.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

பல்லுறுப்புச் சார்புகளைக் கையாளுதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மீளவரும் காரணி நிபந்தனை: (x - a)^2 என்பது f(x) இன் காரணியாக அமைய f(a) = 0 மற்றும் f'(a) = 0 ஆகிய இரண்டும் பூர்த்தியாக வேண்டும்.
• இருபடி வகுப்பியின் மீதி: இருபடிக் கோவையினால் வகுக்கும் போது மீதியானது ஒருபடி நேர்கோட்டு வடிவில் அமையும்: r(x) = Ax + B.
• விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்: p/q என்பது ஒரு மூலமெனின் p மாறிலி உறுப்பு a0 இன் காரணியாகவும், q முதன்மை குணகம் an இன் காரணியாகவும் அமையும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

மீதித் தேற்றத்தின்படி, P(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 5 எனும் பல்லுறுப்புக் கோவையை (x - 2) இனால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி யாது?

1. A. -3
2. B. 9
3. C. 5
4. D. 7

விடையைப் பார்க்க

விடை: D. 7. மீதித் தேற்றத்தின்படி மீதி = P(2) = 2(8) - 3(4) + 8 - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

விகிதமுறு சார்புகளைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மூடும் விதி (Cover-up rule): தனித்த ஒருபடி காரணிகளுக்குரிய மாறிலிகளை கணிக்க அக்காரணியை மூடிவிட்டு x இன் மதிப்பை பிரதியிடுவதன் மூலம் உடனடியாக A ஐப் பெறலாம்.
• படியைச் சரிபார்த்தல்: பகுதிப்பின்னங்களாகப் பிரிப்பதற்கு முன் படி(P) < படி(Q) என்பதை உறுதிப்படுத்துங்கள்; தகாபின்னங்களை நேரடியாகப் பிரிக்க முடியாது.
• குணகங்களை ஒப்பிடுதல்: மூலப் பிரதியீடுகள் மூலம் சில மாறிலிகளையும், எஞ்சியவற்றை x இன் உயர் அடுக்குகளின் குணகங்களை ஒப்பிடுவதன் மூலமும் பெறலாம்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

f(x) = (2x + 3) / [(x + 1)(x + 2)] எனும் விகிதமுறு சார்பின் பகுதிப் பின்ன வடிவம் யாது?

1. A. 1 / (x + 1) + 1 / (x + 2)
2. B. 1 / (x + 1) - 1 / (x + 2)
3. C. 2 / (x + 1) + 3 / (x + 2)
4. D. 3 / (x + 1) - 1 / (x + 2)

விடையைப் பார்க்க

விடை: A. 1 / (x + 1) + 1 / (x + 2). 2x + 3 = A(x + 2) + B(x + 1). x = -1 எனின் A = 1; x = -2 எனின் B = 1. பகுதிப் பின்னம்: 1 / (x + 1) + 1 / (x + 2).

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சுட்டி விதிகள் மற்றும் மடக்கை விதிகளைக் கையாளுதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மடக்கையின் சார்பகம்: log_a(f(x)) வரையறுக்கப்பட f(x) > 0, a > 0, மற்றும் a ≠ 1 இருத்தல் வேண்டும்; போலி மூலங்களை நீக்க சார்பகத்தை சரிபார்க்கவும்.
• அடிமதிப்பினால் சமனின்மை குறி மாறுதல்: a > 1 எனின் log_a(x) < log_a(y) <=> x < y; ஆனால் 0 < a < 1 எனின் சமனின்மை குறி தலைகீழாக மாறும்: x > y.
• இயற்கை மடக்கை: ln(x) = log_e(x); e^(ln x) = x மற்றும் ln(e^x) = x ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

log₂(x) + log₂(x - 2) = 3 எனும் மடக்கைச் சமன்பாட்டின் மெய் தீர்வு யாது?

1. A. x = 4 and x = -2
2. B. x = 4
3. C. x = 8
4. D. x = -2

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

விடையைப் பார்க்க

விடை: B. x = 4. x(x - 2) = 2³ = 8 => x² - 2x - 8 = 0 => (x - 4)(x + 2) = 0. மடக்கை வரையறைப்படி x > 2, எனவே x = 4 மட்டுமே சரியான தீர்வாகும்.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

மெய்யெண்களைக் கொண்ட சமனிலிகளைத் தீர்த்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பகுதியின் பூச்சியங்களைத் தவிர்த்தல்: P(x)/Q(x) ≥ 0 இற்கு P(x) = 0 புள்ளிகள் உள்ளடக்கப்படலாம்; ஆனால் Q(x) = 0 புள்ளிகள் கட்டாயம் தவிர்க்கப்பட வேண்டும்.
• முக்கோணச் சமனின்மை: அனைத்து மெய் எண்களுக்கும் |x + y| ≤ |x| + |y|; xy ≥ 0 ஆக இருக்கும் போதே சமனாகும்.
• AM-GM சமனின்மை: நேர் எண்களுக்கு (a + b)/2 ≥ √(ab); a = b ஆக இருக்கும் போது மட்டுமே சமனாகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

(x - 1) / (x + 2) ≤ 0 எனும் சமனிலியைத் திருப்திப்படுத்தும் x இன் மெய்ப் பெறுமானங்களின் வீச்சு யாது?

1. A. x ≤ -2 or x > 1
2. B. -2 < x ≤ 1
3. C. -2 ≤ x ≤ 1
4. D. x < -2 or x ≥ 1

விடையைப் பார்க்க

விடை: B. -2 < x ≤ 1. முக்கிய புள்ளிகள் x = 1, x = -2. குறியீட்டு பரிசோதனைப்படி -2 < x ≤ 1 இல் சமனிலி பூர்த்தியாகும் (பகுதி பூச்சியமாக முடியாததால் x = -2 உள்ளடக்கப்படாது).

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.