வகுப்பு 12 — தவணை 2

வட்டச் சார்புகள் (திரிகோணகணிதச் சார்புகள்)

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பெருக்கல்-கூட்டல் மாற்றீட்டு சூத்திரங்கள்: 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B); cos C - cos D = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2).
• t-பிரதியீடு: t = tan(θ/2) எனின் sin θ = 2t/(1 + t^2), cos θ = (1 - t^2)/(1 + t^2), tan θ = 2t/(1 - t^2).
• பொதுத் தீர்வுகள்: sin θ = sin α => θ = nπ + (-1)^n α; cos θ = cos α => θ = 2nπ ± α; tan θ = tan α => θ = nπ + α (n ∈ ℤ).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

sin(2θ) ஐ tan(θ) சார்பில் குறிக்கும் சரியான திரிகோணமிதி முற்றொருமை எது?

1. A. (2 tan θ) / (1 - tan² θ)
2. B. (2 tan θ) / (1 + tan² θ)
3. C. (1 - tan² θ) / (1 + tan² θ)
4. D. (tan θ) / (1 + tan² θ)

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

விடையைப் பார்க்க

விடை: B. (2 tan θ) / (1 + tan² θ). sin(2θ) = 2 sin θ cos θ = 2 tan θ cos² θ = 2 tan θ / (1 + tan² θ).

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சைன் விதி மற்றும் கோசைன் விதியைப் பிரயோகித்தல் I

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சைன் விதியின் மயக்க நிலை (SSA): A கூர்ங்கோணமாக இருக்கும் போது b sin A < a < b எனின் இரு சாத்தியமான முக்கோணங்கள் தோன்றும்.
• உள்வட்ட மற்றும் சுற்றுவட்ட ஆரைகள்: r = Δ/s; R = abc/(4Δ) = a/(2 sin A).
• நேப்பியரின் சூத்திரம்: tan((B - C)/2) = [(b - c)/(b + c)] cot(A/2).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

முக்கோணி ABC இல் b = 3 cm, c = 5 cm, மற்றும் கோணம் A = 60° எனின், கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி பக்கம் a இன் நீளம் யாது?

1. A. √34 cm
2. B. 4 cm
3. C. √19 cm
4. D. √49 cm (7 cm)

விடையைப் பார்க்க

விடை: C. √19 cm. கொசைன் விதிப்படி: a² = b² + c² - 2bc cos A = 9 + 25 - 2(3)(5)(0.5) = 34 - 15 = 19 => a = √19 cm.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சைன் விதி மற்றும் கோசைன் விதியைப் பிரயோகித்தல் II

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• கொசைன் விதி மூலம் அப்பலோனியஸ் தேற்றத்தை நிறுவுதல்: முக்கோணங்கள் ABD, ACD இற்கு கொசைன் விதியைப் பிரயோகித்து கூட்டுவதன் மூலம் குறுக்கு உறுப்பு நீக்கப்பட்டு தேற்றம் பெறப்படும்.
• வெளிவட்ட ஆரைகளின் முற்றொருமை: 1/ra + 1/rb + 1/rc = 1/r மற்றும் ra = Δ / (s - a).
• கோட்டிற்கும் தளத்திற்குமிடையிலான கோணம்: கோட்டிலிருந்து தளத்திற்கு செங்குத்தை வரைந்து செங்குத்து வீழலின் ஊடாக கோணத்தைக் காணுதல்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

பரிவட்ட ஆரம் R உடைய முக்கோணி ABC இன் பரப்பளவு Δ இற்கான சரியான தொடர்பு எது?

1. A. Δ = (a b c) / (4R)
2. B. Δ = 2 R² sin A sin B sin C
3. C. Δ = (a + b + c) / (2R)
4. D. Δ = (a b c) / (2R)

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

விடையைப் பார்க்க

விடை: A. Δ = (a b c) / (4R). பரப்பளவு Δ = ½ a b sin C. சைன் விதியிலிருந்து sin C = c / 2R => Δ = (a b c) / (4R).

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சார்பொன்றின் எல்லையைக் கணித்தல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இடைநெருக்குத் தேற்றம் (Sandwich Theorem): g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) மற்றும் lim g = lim h = L எனின் lim f(x) = L ஆகும்; lim (sin x)/x = 1 ஐ நிறுவ இது பயன்படுகிறது.
• முடிவிலியில் எல்லைகள்: x -> ∞ ஆகும்போது deg(P) = deg(Q) எனின் எல்லை முதன்மை குணகங்களின் விகிதமாகும்; deg(P) < deg(Q) எனின் எல்லை 0 ஆகும்.
• ரேடியன் கட்டாயம்: lim_{x->0} (sin x)/x = 1 என்பது x ரேடியனில் இருக்கும் போது மட்டுமே செல்லும்; பாகையில் இருந்தால் எல்லை π/180 ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

lim_{x → 0} [sin(3x) / x] எல்லைப் பெறுமானம் யாது?

1. A. 0
2. B. 3
3. C. 1
4. D. 1/3

விடையைப் பார்க்க

விடை: B. 3. lim_{x → 0} [sin(3x) / x] = 3 × lim_{3x → 0} [sin(3x) / 3x] = 3 × 1 = 3.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

பொருத்தமான முறைகள் மூலம் சார்புகளை வகையிடுதல்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பராமிதிய இரண்டாம் வகையீட்டு தவறு: d^2y/dx^2 என்பது (d^2y/dt^2)/(d^2x/dt^2) அல்ல; அது [d/dt(dy/dx)] / (dx/dt) இனால் மட்டுமே பெறப்பட வேண்டும்.
• மடக்கை வகையீடு: y = [f(x)]^g(x) வடிவிலான சார்புகளுக்கு இருபுறமும் ln எடுத்து பின்னர் வகையிடல்.
• தொடலியும் செங்கோடும்: தொடலியின் படித்திறன் m = dy/dx; செங்கோட்டின் படித்திறன் -1/m; சமன்பாடு y - y1 = m(x - x1).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

y = x² · sin(x) எனும் சார்பின் x குறித்தான வகைக்கெழு யாது?

1. A. 2x cos(x)
2. B. x² cos(x) - 2x sin(x)
3. C. 2x sin(x) + x² cos(x)
4. D. 2x sin(x) - x² cos(x)

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

விடையைப் பார்க்க

விடை: C. 2x sin(x) + x² cos(x). பெருக்கல் விதிப்படி: dy/dx = 2x sin(x) + x² cos(x).

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வரைறுத்த தொகையீட்டின் பண்புகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• லிப்னிட்ஸ் விதி: தொகையீட்டை வகையிடுதல்: d/dx [∫_a^{v(x)} f(t) dt] = f(v(x)) * v'(x).
• பகுதிவாரியாகத் தொகையிடல்: ∫_a^b u v' dx = [u v]_a^b - ∫_a^b v u' dx; u ஐத் தெரிவுசெய்ய LIATE விதியைப் பயன்படுத்தவும்.
• ஆவர்த்தன சார்புப் பண்பு: ஆவர்த்தனம் T எனின் ∫_0^{nT} f(x) dx = n ∫_0^T f(x) dx ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

∫₀^(π/2) sin(x) dx எனும் வரையறுத்த தொகையீட்டின் பெறுமானம் யாது?

1. A. π / 2
2. B. 0
3. C. 1
4. D. -1

விடையைப் பார்க்க

விடை: C. 1. தொகையீடு = [-cos(x)]₀^(π/2) = -cos(π/2) - (-cos 0) = 0 - (-1) = 1.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

தொகையீட்டைப் பயன்படுத்தி வளைவரைகளால் அடைபடும் பரப்பளவு

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பரப்பளவு குறி பொறி: வளைவு x-அச்சை வெட்டிச் செல்லும்போது நேரடியாகத் தொகையிடக் கூடாது; நேர் மற்றும் மறை பகுதிகள் ஒன்றையொன்று நீக்கிவிடும்.
• இடைவெட்டுப் புள்ளிகளை எல்லையாகக் கொள்ளல்: f(x) = g(x) ஐத் தீர்த்து எல்லைகளைப் பெறுக; தோராய படம் வரைந்து மேல் வளைவை இனங்காண்க.
• சமச்சீர்மை பயன்பாடு: நீள்வளையம் போன்ற சமச்சீர் உருவங்களுக்கு ஒரு காற்பகுதியின் பரப்பளவைக் கணித்து 4 ஆல் பெருக்கலாம் (மொத்தப் பரப்பு = πab).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

y = x² பரவளைவு மற்றும் y = x நேர்கோடு ஆகியவற்றிற்கு இடைப்பட்ட அடைபட்ட பரப்பளவு யாது?

1. A. 1/6
2. B. 5/6
3. C. 1/3
4. D. 1/2

விடையைப் பார்க்க

விடை: A. 1/6. வெட்டும் புள்ளிகள் x = 0, 1. பரப்பளவு = ∫₀¹ (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.