வகுப்பு 10 — தவணை 2

அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொ.பொ.ம

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பொ.ம.சி. மற்றும் பொ.பொ.கா. வேறுபாடு: பொ.பொ.கா. பொதுவான காரணிகளின் குறைந்த அடுக்கை எடுக்கும்; பொ.ம.சி. அனைத்துக் காரணிகளின் உயர்ந்த அடுக்கை எடுக்கும்.
• முதலில் காரணிப்படுத்துதல்: (x² - 9) மற்றும் (x + 3)² இன் பொ.ம.சி. காணும் முன் (x - 3)(x + 3) மற்றும் (x + 3)² என மாற்றி, பொ.ம.சி. = (x - 3)(x + 3)² எனக் காண்க.
• காரணி வடிவிலேயே விடையை விடுதல்: வினாத்தாளில் பொ.ம.சி.யை அடைப்புகளை நீக்கி விரிக்காமல் காரணி வடிவிலேயே எழுதலாம்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

4x²y, 6xy³, 8x³y² ஆகிய அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொ.ம.சி (LCM) ஐக் காண்க.

1. A. 12x³y³
2. B. 24x²y
3. C. 48x²y²
4. D. 24x³y³

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• தவறாக உறுப்புகளை நீக்கும் பிழை: (x + 3) / (x + 7) என்பதில் x ஐ வெட்ட முடியாது; கூட்டல்/கழித்தலால் இணைக்கப்பட்ட உறுப்புகளைத் தனித்து வெட்டக் கூடாது.
• கழித்தலில் குறி மாற்றப் பிழை: (a/b) - ((c - d)/e) இல் கழித்தல் குறி தொகுதி முழுவதற்கும் உரியது: -(c - d) = -c + d.
• பூச்சியப் பகுதி: பகுதியானது பூச்சியமாகும்போது பின்னம் வரையறுக்கப்படாது (x = 4 எனின் 5 / (x - 4) வரையறுக்கப்படவில்லை).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

3/(2x) + 5/(3x) ஆகிய அட்சரகணிதப் பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைச் சுருக்குக.

1. A. 19/(6x)
2. B. 15/(6x²)
3. C. 19/(5x)
4. D. 8/(5x)

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சதவீதம்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• அடக்க விலை அடிப்படைப் பிழை: இலாப நட்ட சதவீதம் அடக்க விலையின் மீதே கணிக்கப்பட வேண்டும்; விற்பனை விலையின் மீது அல்ல.
• காலாண்டு இறைவரி: இறைவரியானது ஆண்டுக்கு 4 காலாண்டுகளாகச் செலுத்தப்படுவதால், காலாண்டு தவணையைக் காண ஆண்டு வரியை 4 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
• வட்டிக் கணிப்பில் காலம்: காலம் மாதங்களில் தரப்பட்டால் அதை 12 ஆல் வகுத்து ஆண்டுகளாக மாற்றிய பின்னரே பிரதியிட வேண்டும் (எ.கா. 8 மாதங்கள் = 8/12 ஆண்டுகள்).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

வியாபாரி ஒருவர் ரூபா 50,000 இற்கு வாங்கிய தொலைக்காட்சிப் பெட்டியை 15% இலாபத்துடன் விற்கின்றார். அத்தொலைக்காட்சியின் விற்பனை விலை யாது?

1. A. Rs. 55,000
2. B. Rs. 57,500
3. C. Rs. 60,000
4. D. Rs. 58,000

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

சமன்பாடுகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• நீக்கல் முறையில் குறிகளைச் சரிபார்த்தல்: ஒரே குறிகளாயின் சமன்பாடுகளைக் கழிக்க வேண்டும்; எதிரெதிர் குறிகளாயின் கூட்ட வேண்டும்.
• விடைகளைச் சரிபார்த்தல்: கண்டறிந்த x, y பெறுமானங்களை இரு மூலச் சமன்பாடுகளிலும் பிரதியிட்டுச் சரிபார்க்கவும்.
• x உடன் நிறுத்திவிடக் கூடாது: x ஐ மட்டும் கண்டுவிட்டு y ஐக் காண மறப்பது பொதுவான பிழையாகும்; கேட்கப்பட்ட பொருட்களின் விலைகளைத் தெளிவாக எழுதவும்.

இணைகரங்கள் I

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இணைகரம் என நிறுவுவதற்கான நிபந்தனைகள்: ஒரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்கள் சமனாகவும் சமாந்தரமாகவும் உள்ளன எனக் காட்டினால் போதுமானது.
• கேத்திரகணிதக் காரணங்கள்: நிறுவல்களில் 'இணைகரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமன்', 'இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் இருசமகூறிடும்' போன்ற காரணங்களைத் தெளிவாகக் குறிப்பிடவும்.
• அடுத்துள்ள கோணங்கள் 180°: சமாந்தரக் கோடுகளுக்கு இடையிலான நேயக்கோணங்கள் என்பதால் அடுத்துள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

இணைகரம் ABCD இல் கோணம் A = 70° எனின், கோணம் B இன் பருமனைக் காண்க.

1. A. 90°
2. B. 140°
3. C. 70°
4. D. 110°

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

இணைகரங்கள் II

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சாய்சதுர மூலைவிட்டப் பண்பு: மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் இடைவெட்டுவதால் நான்கு ஒருங்கமை செங்கோண முக்கோணங்கள் உருவாகும்; இதிலிருந்து பக்க நீளத்தைக் காண பைதகரசின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.
• செவ்வகம் மற்றும் சாய்சதுர மூலைவிட்ட வேறுபாடு: செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சமனானவை ஆனால் செங்குத்தானவை அல்ல; சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தானவை ஆனால் சமனானவை அல்ல.
• சதுரம் என நிறுவுதல்: முதலில் அதனை ஒரு செவ்வகம் என நிறுவி, பின்னர் அடுத்துள்ள பக்கங்கள் சமன் எனக் காட்டுதல் வேண்டும்.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

நாற்பக்கல் ஒன்று இணைகரம் என நிறுவுவதற்குப் போதுமான நிபந்தனை எது?

1. A. The diagonals are perpendicular to each other.
2. B. Two adjacent sides are equal in length.
3. C. One pair of opposite sides is both equal and parallel.
4. D. One pair of opposite angles is equal.

விடைத் தேர்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

தொடைகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• இரட்டை எண்ணிக்கைப் பிழை: 'தேநீர் அருந்துபவர்கள்' என்பதில் இரண்டையும் அருந்துபவர்களும் அடங்குவர்; 'தேநீர் மட்டும் அருந்துபவர்கள்' = n(A) - n(A ∩ B) ஆகும்.
• வென் வரிப்படத்தைப் பூர்த்தி செய்யும் முறை: முதலில் பொதுவான இடைவெட்டுப் பகுதியை n(A ∩ B) பூர்த்தி செய்துவிட்டு பின்னரே 'மட்டும்' உள்ள பகுதிகளை எழுத வேண்டும்.
• வெளிப்புறப் பகுதி: இரண்டு தொடைகளுக்கும் உட்படாத வெளிப்புற மூலகங்களைக் கணக்கில் கொள்ள மறக்கக் கூடாது: n((A ∪ B)').

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

40 மாணவர்கள் கொண்ட வகுப்பில் 25 பேர் விஞ்ஞானத்தையும், 20 பேர் வர்த்தகத்தையும் கற்கின்றனர். எப்பாடத்தையும் கற்காதோர் 5 பேராவர். இரு பாடங்களையும் கற்கும் மாணவர்கள் எத்தனை பேர்?

1. A. 15
2. B. 10
3. C. 5
4. D. 12

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

மடக்கைகள் I

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• மடக்கைப் பிழை: log(x + y) என்பது ஒருபோதும் log x + log y இற்குச் சமனாகாது; log(x / y) என்பது (log x) / (log y) இலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டது.
• வகுத்தல் விதி: log(x / y) = log x - log y ஆகும்.
• சுட்டி மற்றும் மடக்கை வடிவ மாற்றங்கள்: 2⁶ = 64 என்பதை log₂ 64 = 6 என மாற்றும் பயிற்சியைப் பகுதி 1 வினாக்களுக்காகத் தெளிவாகப் பயிற்சி செய்க.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

log₃(81) = 4 என்ற மடக்கைச் சமன்பாட்டை அதற்குரிய சுட்டி வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

1. A. 3⁴ = 81
2. B. 4³ = 81
3. C. 81³ = 4
4. D. 3 × 4 = 81

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

மடக்கைகள் II

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• பார் குறியீடு: எதிர்மறை சிறப்பியல்பு எண்ணின் மேல் கோடு இட்டுக் காட்டப்படும் (2̄.4532 = -2 + 0.4532; -2.4532 அல்ல; ஏனெனில் மடக்கைப்பகுதி எப்போதுமே நேர்மறையாகும்).
• பார் எண்களைக் கழித்தல்: எதிர்மறை சிறப்பியல்பைக் கழிக்கும் போது அது கூட்டலாக மாறும் என்பதில் அவதானமாக இருக்கவும்.
• இடை வித்தியாசங்கள் (Mean differences): அட்டவணையில் இடை வித்தியாசப் பெறுமானத்தை எப்போதும் கூட்ட வேண்டும்; கழிக்கக் கூடாது.

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

log₁₀(2) = 0.3010 மற்றும் log₁₀(3) = 0.4771 எனத் தரப்படின், log₁₀(18) இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

1. A. 1.5562
2. B. 0.7781
3. C. 1.2552
4. D. 1.0791

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.

நேர்கோட்டு வரைபுகள்

கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டியவை

• சாய்வு சூத்திர வரிசைப் பிழை: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) என்பதில் தொகுதியிலும் பகுதியிலும் புள்ளிகளின் வரிசை ஒரே சீராக இருக்க வேண்டும்.
• நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறைச் சாய்வு: இடமிருந்து வலமாக மேல்நோக்கிச் செல்லும் கோட்டிற்கு m > 0; கீழ்நோக்கிச் செல்லும் கோட்டிற்கு m < 0; கிடைமட்டக் கோட்டிற்கு m = 0.
• நிலையான வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்: சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டைக் காண்பதற்கு முன் சமன்பாட்டை y = mx + c வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும் (3x + y = 7 எனின் y = -3x + 7, m = -3, c = 7).

ஒரு வினாவை முயன்று பாருங்கள்

2y - 6x = 8 என்ற நேர்கோட்டின் படித்திறன் (m) மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு (c) என்பன முறையே யாவை?

1. A. m = 3, c = 4
2. B. m = -3, c = 4
3. C. m = 3, c = 8
4. D. m = 6, c = 8

இது பரீட்சை முறைக்கு அமைய இடசர எழுதிய மாதிரி வினா. கடந்தகால வினாத்தாளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல.